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===========================
テンソルの概念
===========================
ここまでにもテンソルという言葉はちょくちょく出てきました...
復習のため、まずスカラーから話を始めます。スカラーとは座...
次にベクトルを思い出しましょう。ベクトルはある座標系の上...
最後に、 計量テンソル_ の記事に出てきた計量テンソル $g_{i...
<tex>
A_{i} = g_{ik} A^{k}
</tex>
添字の数が $2$ なので、計量テンソルは *二階のテンソル* と...
添字の数に注目して、スカラー、ベクトル、二階のテンソルと...
変換則
--------------------------------------------------
スカラー $\alpha$ 、ベクトル $A_{i}$ 、計量テンソル $g_{i...
ここまでに、計量テンソル(二階のテンソル)、スカラー(零...
では、単に添字がたくさんついた量をテンソルと呼ぶのかと言...
ある座標系 $K$ から、新しい座標 $K'$ に座標変換することを...
直交変換に際して、スカラー、ベクトル、二階のテンソル、三...
<tex>
A'=A \tag{0}
</tex>
<tex>
A'_{i} = {\alpha}_{ij} A^{j} \tag{1}
</tex>
<tex>
A'_{ij}= {\alpha}_{ijkl} A^{kl}={\alpha}_{ik}{\alpha}_{jl...
</tex>
<tex>
A'_{ijk} = {\alpha}_{ijklmn} A^{lmn} = {\alpha}_{il}{\alp...
</tex>
<tex>
........
</tex>
<tex>
A'_{i_{1}i_{2}\cdot \cdot \cdot i_{n}} = {\alpha}_{i'_{1}...
</tex>
両辺の添字の関係に着目して下さい。 $\alpha_{ij...}$ は $A...
<tex>
A'^{i_{1}i_{2}\cdot \cdot \cdot i_{n}} = {\alpha}^{i'_{1}...
</tex>
<tex>
A'_{i_{1}i_{2}\cdot \cdot \cdot i_{n}} = {\alpha}_{i'_{1}...
</tex>
<tex>
A'^{i_{1}i_{2}\cdot \cdot \cdot i_{n}} = {\alpha}_{i_{1}i...
</tex>
ポイントは、右辺で上下に分かれた二回現われている添字が消...
.. important::
直交変換に対し、変換則 $(4-1)$ 〜 $(4-4)$ のいずれかを満...
.. [*] 式 $(2)(3)$ で二階や四階のテンソル、 ${\alpha}_{ij...
今の議論で、共変・反変の区別はあまり重要ではないので、以...
テンソルの成分
--------------------------------------------------------
このセクションではテンソルの成分を考えてみます。 $0$ 階の...
.. [*] $n$ 階テンソルの成分数が $3^{n}$ になるのは、座標...
.. [*] テンソルを行列の一種だと思い込んでいる人に出くわす...
基底を使った定義
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
前のセクションでは、テンソルを座標変換の際の変換則によっ...
ベクトル $\bm{A}$ は適当な基底 $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\b...
<tex>
\bm{A}=A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}} \t...
</tex>
もしくは、その成分を括弧でくくって $(A^{1},A^{2},A^{3})$ ...
次に、ベクトルの基底 $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}})$...
<tex>
T&=T^{11}(\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{1}})+T^{12}(\bm{e_{1}}...
&+T^{21}(\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}})+T^{22}(\bm{e_{2}}\...
&+T^{31}(\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}})+T^{32}(\bm{e_{3}}\...
</tex>
新しく作った基底 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}}$ って何な...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T^{11} & T^{12} & T^{13} \\
T^{21} & T^{22} & T^{23} \\
T^{31} & T^{32} & T^{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
さらに、ベクトルの基底 $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}...
<tex>
{\tilde T} = T^{i_{1}i_{2}...i_{n}}(\bm{e_{i_{1}}}\otimes...
</tex>
こう見てくると、ベクトルは確かにテンソルの特殊な場合だと...
.. important::
$V$ をベクトルとして、 $T=V_{1} \otimes V_{2} \otimes ....
ただし、私達はまだ、この掛け算のような記号 $\otimes$ が何...
.. [*] テンソルの持つ性質で非常に大事なものに、もうひとつ...
.. [*] ベクトルの計算しかしていなかったときは、ベクトルと...
物理学におけるテンソル
-----------------------------------------------------------
このように、テンソルとは多数の成分からなる、ベクトルのお...
スカラー
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
零階のテンソルであるスカラーは、その表現も変換則も座標系...
アインシュタインが相対性理論を考える発端となった疑問は、...
.. [*] ベクトルの内積はスカラーですから座標不変量で、座標...
.. [*] ただし、相対論で考える座標系は、空間の三次元に時間...
ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
一階のテンソルであるベクトルは、 $(A^{1},A^{2},A^{3})$ の...
.. [*] ベクトルもテンソルですから、座標変換の式 $(4)$ を...
二階のテンソル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトル $A^{j},A'^{i}$ を、 $A'^{i} = {\alpha}_{ij} A^{j...
いま第一成分 $A'^{1}=g_{11}A^{1}+g_{12}A^{2}+g_{13}A^{3}$...
力学に出てくる二階のテンソルの例としては、慣性モーメント...
すでにお馴染みのクロネッカーのデルタも実は二階のテンソル...
<tex>
{\delta}_{ij} = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
</tex>
.. [*] 三階以上のテンソルの物理的かつ直観的イメージはどの...
.. _もう一度だけ内積外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _テンソル代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _材料力学:
.. _ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.jp/...
.. _テンソルの一般的表現: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _多重線形性とテンソル空間: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _双線形関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _高階のテンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _多様体の概念:
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _スカラー三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorConcept@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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テンソルの概念
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ここまでにもテンソルという言葉はちょくちょく出てきました...
復習のため、まずスカラーから話を始めます。スカラーとは座...
次にベクトルを思い出しましょう。ベクトルはある座標系の上...
最後に、 計量テンソル_ の記事に出てきた計量テンソル $g_{i...
<tex>
A_{i} = g_{ik} A^{k}
</tex>
添字の数が $2$ なので、計量テンソルは *二階のテンソル* と...
添字の数に注目して、スカラー、ベクトル、二階のテンソルと...
変換則
--------------------------------------------------
スカラー $\alpha$ 、ベクトル $A_{i}$ 、計量テンソル $g_{i...
ここまでに、計量テンソル(二階のテンソル)、スカラー(零...
では、単に添字がたくさんついた量をテンソルと呼ぶのかと言...
ある座標系 $K$ から、新しい座標 $K'$ に座標変換することを...
直交変換に際して、スカラー、ベクトル、二階のテンソル、三...
<tex>
A'=A \tag{0}
</tex>
<tex>
A'_{i} = {\alpha}_{ij} A^{j} \tag{1}
</tex>
<tex>
A'_{ij}= {\alpha}_{ijkl} A^{kl}={\alpha}_{ik}{\alpha}_{jl...
</tex>
<tex>
A'_{ijk} = {\alpha}_{ijklmn} A^{lmn} = {\alpha}_{il}{\alp...
</tex>
<tex>
........
</tex>
<tex>
A'_{i_{1}i_{2}\cdot \cdot \cdot i_{n}} = {\alpha}_{i'_{1}...
</tex>
両辺の添字の関係に着目して下さい。 $\alpha_{ij...}$ は $A...
<tex>
A'^{i_{1}i_{2}\cdot \cdot \cdot i_{n}} = {\alpha}^{i'_{1}...
</tex>
<tex>
A'_{i_{1}i_{2}\cdot \cdot \cdot i_{n}} = {\alpha}_{i'_{1}...
</tex>
<tex>
A'^{i_{1}i_{2}\cdot \cdot \cdot i_{n}} = {\alpha}_{i_{1}i...
</tex>
ポイントは、右辺で上下に分かれた二回現われている添字が消...
.. important::
直交変換に対し、変換則 $(4-1)$ 〜 $(4-4)$ のいずれかを満...
.. [*] 式 $(2)(3)$ で二階や四階のテンソル、 ${\alpha}_{ij...
今の議論で、共変・反変の区別はあまり重要ではないので、以...
テンソルの成分
--------------------------------------------------------
このセクションではテンソルの成分を考えてみます。 $0$ 階の...
.. [*] $n$ 階テンソルの成分数が $3^{n}$ になるのは、座標...
.. [*] テンソルを行列の一種だと思い込んでいる人に出くわす...
基底を使った定義
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
前のセクションでは、テンソルを座標変換の際の変換則によっ...
ベクトル $\bm{A}$ は適当な基底 $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\b...
<tex>
\bm{A}=A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}} \t...
</tex>
もしくは、その成分を括弧でくくって $(A^{1},A^{2},A^{3})$ ...
次に、ベクトルの基底 $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}})$...
<tex>
T&=T^{11}(\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{1}})+T^{12}(\bm{e_{1}}...
&+T^{21}(\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}})+T^{22}(\bm{e_{2}}\...
&+T^{31}(\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}})+T^{32}(\bm{e_{3}}\...
</tex>
新しく作った基底 $\bm{e_{i}}\otimes \bm{e_{j}}$ って何な...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T^{11} & T^{12} & T^{13} \\
T^{21} & T^{22} & T^{23} \\
T^{31} & T^{32} & T^{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
さらに、ベクトルの基底 $(\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}...
<tex>
{\tilde T} = T^{i_{1}i_{2}...i_{n}}(\bm{e_{i_{1}}}\otimes...
</tex>
こう見てくると、ベクトルは確かにテンソルの特殊な場合だと...
.. important::
$V$ をベクトルとして、 $T=V_{1} \otimes V_{2} \otimes ....
ただし、私達はまだ、この掛け算のような記号 $\otimes$ が何...
.. [*] テンソルの持つ性質で非常に大事なものに、もうひとつ...
.. [*] ベクトルの計算しかしていなかったときは、ベクトルと...
物理学におけるテンソル
-----------------------------------------------------------
このように、テンソルとは多数の成分からなる、ベクトルのお...
スカラー
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
零階のテンソルであるスカラーは、その表現も変換則も座標系...
アインシュタインが相対性理論を考える発端となった疑問は、...
.. [*] ベクトルの内積はスカラーですから座標不変量で、座標...
.. [*] ただし、相対論で考える座標系は、空間の三次元に時間...
ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
一階のテンソルであるベクトルは、 $(A^{1},A^{2},A^{3})$ の...
.. [*] ベクトルもテンソルですから、座標変換の式 $(4)$ を...
二階のテンソル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトル $A^{j},A'^{i}$ を、 $A'^{i} = {\alpha}_{ij} A^{j...
いま第一成分 $A'^{1}=g_{11}A^{1}+g_{12}A^{2}+g_{13}A^{3}$...
力学に出てくる二階のテンソルの例としては、慣性モーメント...
すでにお馴染みのクロネッカーのデルタも実は二階のテンソル...
<tex>
{\delta}_{ij} = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
</tex>
.. [*] 三階以上のテンソルの物理的かつ直観的イメージはどの...
.. _もう一度だけ内積外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _テンソル代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _材料力学:
.. _ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.jp/...
.. _テンソルの一般的表現: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _多重線形性とテンソル空間: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _双線形関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _高階のテンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _多様体の概念:
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _スカラー三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorConcept@@
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