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テンソルの一般的表現
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ベクトル代数の分野で勉強したことの復習ですが、ベクトルに...
<tex>
{\alpha}_{ij}
</tex>
<tex>
{\alpha}^{ij}
</tex>
<tex>
{\alpha}_{i}^{j}
</tex>
ベクトルは二階のテンソルによって座標変換されますが( テン...
<tex>
A_{i} = {\alpha}_{i}^{j}A_{j} \tag{1-1}
</tex>
<tex>
A^{i} = {\alpha}_{j}^{i}A^{j} \tag{1-2}
</tex>
これらの変換式は既に ベクトル成分の座標変換_ で紹介してあ...
<tex>
A_{i} = {\alpha}_{ij}A^{j} \tag{2-1}
</tex>
<tex>
A^{i} = {\alpha}^{ij}A_{j} \tag{2-2}
</tex>
共変ベクトルと反変ベクトルの関係性については 双対基底_ 、...
.. [*] ここまでの記事では、テンソルの座標変換の式として式...
また、混合テンソルの添字について、添字に順番がある場合(...
<tex>
A_{i}^{.j}, \ \ \ A_{.i}^{j}
</tex>
例えば、 $A_{i}^{.j}$ は『最初の添字は共変、二番目の添字...
.. [*] 式 $(2-1)(2-2)$ を単に『添字の上げ下げ』と呼ぶ人が...
計量テンソル
-------------------------------------------------------
リーマン計量 $ds^2 = g_{ik}dx^{i}dx^{j}$ を持つ座標系で(...
<tex>
A_{ik}=g_{il}g_{km}A^{lm}=g_{kl}A_{i}^{.l}=g_{il}A_{.k}^{...
</tex>
<tex>
A^{ik}=g^{il}g^{km}A_{lm}=g^{il}A_{l}^{.k}=g^{kl}A_{.l}^{...
</tex>
<tex>
A_{i}^{.k}=g_{il}A^{lk}=g^{kl}A_{il} \tag{3-3}
</tex>
<tex>
A_{.k}^{i}=g^{il}A_{lk}=g_{kl}A^{il} \tag{3-4}
</tex>
いろいろな変換があるものですね。右辺を眺めて、添字が上下...
<tex>
g_{ij}=\bm{e_{i}}\cdot \bm{e_{j}}
</tex>
これと、基底ベクトルが $\bm{e'_{i}}={\alpha}_{i'}^{j}\bm{...
<tex>
g'_{ij} &= \bm{e'_{i}} \cdot \bm{e'_{j}} \\
&= {\alpha}_{i'}^{k}\bm{e_{k}}\cdot {\alpha}_{j'}^{l}\bm{...
& = {\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{j'}^{l}(\bm{e_{k}} \cdot ...
& = {\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{j'}^{l}g_{kl} \tag{4-1}
</tex>
同様に反変成分や共変成分は次式の変換則に従います。
<tex>
g'^{ij} = {\alpha}_{k}^{i'} {\alpha}_{l}^{j'}g^{kl} \t...
</tex>
<tex>
{g'}_{i}^{.j} = {\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{l}^{j'}g_{...
</tex>
最初から計量テンソルという名前で呼んでいるので、計量テン...
計量テンソルの混合成分は定義より $g_{i}^{.j}=\bm{e_{i}}\c...
<tex>
{g'}_{i}^{.j} = \bm{e_{i}}\cdot \bm{e^{j}} = \delta_{i...
</tex>
.. [*] ベクトル代数の章から、添字が上下に分かれたベクトル...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトル成分の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _双対基底の図形的関係: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _内積と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _計量テンソルとヤコビアン: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GeneralTensorExp@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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テンソルの一般的表現
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ベクトル代数の分野で勉強したことの復習ですが、ベクトルに...
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{\alpha}_{ij}
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{\alpha}^{ij}
</tex>
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{\alpha}_{i}^{j}
</tex>
ベクトルは二階のテンソルによって座標変換されますが( テン...
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A_{i} = {\alpha}_{i}^{j}A_{j} \tag{1-1}
</tex>
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A^{i} = {\alpha}_{j}^{i}A^{j} \tag{1-2}
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これらの変換式は既に ベクトル成分の座標変換_ で紹介してあ...
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A_{i} = {\alpha}_{ij}A^{j} \tag{2-1}
</tex>
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A^{i} = {\alpha}^{ij}A_{j} \tag{2-2}
</tex>
共変ベクトルと反変ベクトルの関係性については 双対基底_ 、...
.. [*] ここまでの記事では、テンソルの座標変換の式として式...
また、混合テンソルの添字について、添字に順番がある場合(...
<tex>
A_{i}^{.j}, \ \ \ A_{.i}^{j}
</tex>
例えば、 $A_{i}^{.j}$ は『最初の添字は共変、二番目の添字...
.. [*] 式 $(2-1)(2-2)$ を単に『添字の上げ下げ』と呼ぶ人が...
計量テンソル
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リーマン計量 $ds^2 = g_{ik}dx^{i}dx^{j}$ を持つ座標系で(...
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A_{ik}=g_{il}g_{km}A^{lm}=g_{kl}A_{i}^{.l}=g_{il}A_{.k}^{...
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A^{ik}=g^{il}g^{km}A_{lm}=g^{il}A_{l}^{.k}=g^{kl}A_{.l}^{...
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A_{i}^{.k}=g_{il}A^{lk}=g^{kl}A_{il} \tag{3-3}
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A_{.k}^{i}=g^{il}A_{lk}=g_{kl}A^{il} \tag{3-4}
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いろいろな変換があるものですね。右辺を眺めて、添字が上下...
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g_{ij}=\bm{e_{i}}\cdot \bm{e_{j}}
</tex>
これと、基底ベクトルが $\bm{e'_{i}}={\alpha}_{i'}^{j}\bm{...
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g'_{ij} &= \bm{e'_{i}} \cdot \bm{e'_{j}} \\
&= {\alpha}_{i'}^{k}\bm{e_{k}}\cdot {\alpha}_{j'}^{l}\bm{...
& = {\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{j'}^{l}(\bm{e_{k}} \cdot ...
& = {\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{j'}^{l}g_{kl} \tag{4-1}
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同様に反変成分や共変成分は次式の変換則に従います。
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g'^{ij} = {\alpha}_{k}^{i'} {\alpha}_{l}^{j'}g^{kl} \t...
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{g'}_{i}^{.j} = {\alpha}_{i'}^{k} {\alpha}_{l}^{j'}g_{...
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最初から計量テンソルという名前で呼んでいるので、計量テン...
計量テンソルの混合成分は定義より $g_{i}^{.j}=\bm{e_{i}}\c...
<tex>
{g'}_{i}^{.j} = \bm{e_{i}}\cdot \bm{e^{j}} = \delta_{i...
</tex>
.. [*] ベクトル代数の章から、添字が上下に分かれたベクトル...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトル成分の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _双対基底の図形的関係: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _内積と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _計量テンソルとヤコビアン: http://www12.plala.or.jp/ks...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: GeneralTensorExp@@
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