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テンソルとベクトル空間
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双線形関数の全体がベクトル空間 $V \otimes V$ を張ることを...
双線形空間(その1)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
新しく $V$ のテンソル積から作ったベクトル空間 $V \otimes ...
<tex>
x \otimes y(x',y') = x(x')y(y') \tag{1}
</tex>
左辺は少し見にくいですが、 $x \otimes y$ が関数の名前、 $...
.. [*] $V$ と $V^{*}$ の基底として、双対基底 $\bm{e_{i}}...
式 $(1)$ で定義された作用が、双線形性を持つことを確認して...
【双線形性】
<tex>
(x \otimes y)(\alpha {x'}_{1} + \beta {x'}_{2} , y') &= x...
&=(\alpha x( {x'}_{1}) + \beta x({x'}_{2}) )y(y') \\
&= \alpha x( {x'}_{1})y(y') + \beta x({x'}_{2}) y(y') \\
&= \alpha x\otimes y({x'}_{1}, y') + \beta x\otimes y({x...
</tex>
確かに双線形性を満たしますね。また、次のような算法を満た...
【 $x \otimes y$ が満たす性質】
1. $(\alpha x_{1} + \beta x_{2})\otimes y= \alpha x_{1}\...
2. $x\otimes (\alpha y_{1} + \beta y_{2})= \alpha x\otim...
3. $(\alpha x)\otimes y = x\otimes (\alpha y) = \alpha (...
式 $(1)$ のように定義したテンソル積 $x \otimes y$ は双線...
.. important::
関数 $x \otimes y \ : V^{*}\times V^{*} \longmapsto R$...
双線形空間(その2)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
前セクションで確認したのは十分条件ともいうべきものですが...
.. admonition:: theorem
$V \otimes V$ の元は、一意的に $\alpha^{ij} \bm{e_{i}...
.. admonition:: proof
$V \otimes V$ の任意の元( $\psi$ とします)を取ります...
今までも、二階のテンソルは $\alpha ^{ij}(\bm{e_{i}}\otime...
既に察しがついているかと思いますが、ここで用いた $V\otime...
<tex>
V = L_{1}(V^{*})
</tex>
<tex>
V \otimes V= L_{2}(V^{*})
</tex>
<tex>
V \otimes V \otimes V= L_{3}(V^{*})
</tex>
<tex>
..............................
</tex>
<tex>
V \otimes V \otimes \cdot \cdot \cdot \otimes V= L_{n}(V^...
</tex>
いきなり一般化してしまいましたが、 $L_{n}$ に出てくるのは...
だんだんテンソルの世界が展望できてきましたか?代数的な視...
.. [*] $L_{n}$ という記号はなかなか良くできています。 $L...
.. _双線形関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _もう一度だけ内積外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.jp/...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _双対基底と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorAndVectorspace@@
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#rst2hooktail_source
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テンソルとベクトル空間
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双線形関数の全体がベクトル空間 $V \otimes V$ を張ることを...
双線形空間(その1)
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新しく $V$ のテンソル積から作ったベクトル空間 $V \otimes ...
<tex>
x \otimes y(x',y') = x(x')y(y') \tag{1}
</tex>
左辺は少し見にくいですが、 $x \otimes y$ が関数の名前、 $...
.. [*] $V$ と $V^{*}$ の基底として、双対基底 $\bm{e_{i}}...
式 $(1)$ で定義された作用が、双線形性を持つことを確認して...
【双線形性】
<tex>
(x \otimes y)(\alpha {x'}_{1} + \beta {x'}_{2} , y') &= x...
&=(\alpha x( {x'}_{1}) + \beta x({x'}_{2}) )y(y') \\
&= \alpha x( {x'}_{1})y(y') + \beta x({x'}_{2}) y(y') \\
&= \alpha x\otimes y({x'}_{1}, y') + \beta x\otimes y({x...
</tex>
確かに双線形性を満たしますね。また、次のような算法を満た...
【 $x \otimes y$ が満たす性質】
1. $(\alpha x_{1} + \beta x_{2})\otimes y= \alpha x_{1}\...
2. $x\otimes (\alpha y_{1} + \beta y_{2})= \alpha x\otim...
3. $(\alpha x)\otimes y = x\otimes (\alpha y) = \alpha (...
式 $(1)$ のように定義したテンソル積 $x \otimes y$ は双線...
.. important::
関数 $x \otimes y \ : V^{*}\times V^{*} \longmapsto R$...
双線形空間(その2)
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前セクションで確認したのは十分条件ともいうべきものですが...
.. admonition:: theorem
$V \otimes V$ の元は、一意的に $\alpha^{ij} \bm{e_{i}...
.. admonition:: proof
$V \otimes V$ の任意の元( $\psi$ とします)を取ります...
今までも、二階のテンソルは $\alpha ^{ij}(\bm{e_{i}}\otime...
既に察しがついているかと思いますが、ここで用いた $V\otime...
<tex>
V = L_{1}(V^{*})
</tex>
<tex>
V \otimes V= L_{2}(V^{*})
</tex>
<tex>
V \otimes V \otimes V= L_{3}(V^{*})
</tex>
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..............................
</tex>
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V \otimes V \otimes \cdot \cdot \cdot \otimes V= L_{n}(V^...
</tex>
いきなり一般化してしまいましたが、 $L_{n}$ に出てくるのは...
だんだんテンソルの世界が展望できてきましたか?代数的な視...
.. [*] $L_{n}$ という記号はなかなか良くできています。 $L...
.. _双線形関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _もう一度だけ内積外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.jp/...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _双対基底と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorAndVectorspace@@
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