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スカラー関数の線積分
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この記事では、線積分という積分を勉強します。次の記事以降...
線積分
-------------------------------------------------------
高校で最初に積分を習ったとき、次図のようなイメージを使っ...
.. image:: Joh-LineIntegral01.gif
変数 $x$ の各点で定義される関数 $f(x)$ の値に $\Delta x$ ...
さて、二変数関数 $f(x,y)$ を積分するときも要点は全く同じ...
.. image:: Joh-LineIntegral02.gif
今のような話は、重積分を勉強したことがある人は知っている...
.. image:: Joh-LineIntegral03.gif
曲線を $C$ 、関数を $f(x,y)$ として、線積分は次のように表...
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y) ds \tag{1}
</tex>
もし、 $C$ が空間曲線なら三変数で次のようになります。
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y,z) ds \tag{2}
</tex>
.. [*] 四次元以上の線積分を考えることはあまりありませんが...
弧長パラメーター $ds$ に関して、デカルト座標系なら $ds = ...
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y,z) d\bm{r} = \bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dx + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dy + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dz \tag{3}
</tex>
線積分の計算
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
実際に線積分を計算するときには、積分経路となる曲線の方程...
<tex>
\bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dx + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dy + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dz
=
\bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dx}{dt}dt + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dy}{dt}dt + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dz}{dt}dt \tag{4}
</tex>
練習問題1
---------------------------------------------------------...
曲線 $C: \ (x,y,z)=(a\cos t,a\sin t, bt)$ に沿って、関数 ...
ヒント:まず、 $f$ を $t$ だけで表わしましょう。そして $\...
練習問題2
---------------------------------------------------------...
曲線 $C: \ (x,y,z)=(t,t^{2},t^{3}) \ (0 \le t \le 1)$ に...
ヒント:まず、 $f$ を $t$ だけで表わしましょう。成分毎に ...
.. _空間曲線と接線の方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: LineIntegralScalar@@
終了行:
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スカラー関数の線積分
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この記事では、線積分という積分を勉強します。次の記事以降...
線積分
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高校で最初に積分を習ったとき、次図のようなイメージを使っ...
.. image:: Joh-LineIntegral01.gif
変数 $x$ の各点で定義される関数 $f(x)$ の値に $\Delta x$ ...
さて、二変数関数 $f(x,y)$ を積分するときも要点は全く同じ...
.. image:: Joh-LineIntegral02.gif
今のような話は、重積分を勉強したことがある人は知っている...
.. image:: Joh-LineIntegral03.gif
曲線を $C$ 、関数を $f(x,y)$ として、線積分は次のように表...
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y) ds \tag{1}
</tex>
もし、 $C$ が空間曲線なら三変数で次のようになります。
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y,z) ds \tag{2}
</tex>
.. [*] 四次元以上の線積分を考えることはあまりありませんが...
弧長パラメーター $ds$ に関して、デカルト座標系なら $ds = ...
<tex>
\intop \limits_{C} f(x,y,z) d\bm{r} = \bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dx + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dy + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dz \tag{3}
</tex>
線積分の計算
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実際に線積分を計算するときには、積分経路となる曲線の方程...
<tex>
\bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dx + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dy + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) dz
=
\bm{e_{x}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dx}{dt}dt + \bm{e_{y}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dy}{dt}dt + \bm{e_{z}}
\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dz}{dt}dt \tag{4}
</tex>
練習問題1
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曲線 $C: \ (x,y,z)=(a\cos t,a\sin t, bt)$ に沿って、関数 ...
ヒント:まず、 $f$ を $t$ だけで表わしましょう。そして $\...
練習問題2
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曲線 $C: \ (x,y,z)=(t,t^{2},t^{3}) \ (0 \le t \le 1)$ に...
ヒント:まず、 $f$ を $t$ だけで表わしましょう。成分毎に ...
.. _空間曲線と接線の方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: LineIntegralScalar@@
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