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ジョルダン標準形の指数関数の応用
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我々は ジョルダン細胞のn乗_ に於いて、行列の指数関数を
考えましたが、今回の話はその応用例です。
一次連立微分方程式
========================
どんな正方行列 $A$ も複素数の範囲でジョルダン標準形 $J$ ...
(運が良い時には対角行列になります。)
つまり、固有ベクトル(正確にはジョルダン基底というようです。
掲示板でご指摘いただきました。数学男子さんに感謝です^_^。
)を並べた正則行列を $P$ と置くと、
<tex>
J = P^{-1}AP \tag{##}
</tex>
となります。ここで次の連立方程式の解を求めることにこの事...
n次列ベクトルを $\bm{x}$ と置くと、
<tex>
\dfrac{d \bm{x}}{dt} = A \bm{x} \tag{##}
</tex>
です。式 $ (2) $ に左から $P^{-1}$ を掛けると、 $P^{-1} \...
<tex>
P^{-1} \dfrac{d \bm{x}}{dt} = P^{-1} A \bm{x} \tag{##}
</tex>
<tex>
\dfrac{d P^{-1} \bm{x}}{dt} = P^{-1} A P P^{-1} \bm{x} \...
</tex>
<tex>
\dfrac{d \bm{y}}{dt} = J \bm{y} \tag{##}
</tex>
となり、 $J$ はまさにジョルダン標準形です。
ここで初期状態を $ \bm{x}_0 $ とし、対応する $\bm{y}$ を ...
すると、少し天下り的ですが、解は次のようになります。(行...
をご覧ください。)
<tex>
\bm{y} = \exp ( t J ) \bm{y}_0 \tag{##}
</tex>
この式は微分すると、確かに
<tex>
\dfrac{d \bm{y}}{dt} &= J \exp( t J ) \bm{y}_0 \\
&= J \bm{y} \tag{##}
</tex>
となっていますね。こういう視点で考えると実は ベクトルの回...
新しい見方ができます。それは、 続4ベクトルの回転_ で扱い...
それでは今日はこの辺で。
お疲れ様でした。
.. _ジョルダン細胞のn乗: http://hooktail.sub.jp/mathInPh...
.. _ベクトルの回転 : http://hooktail.sub.jp/vectoranalysi...
.. _続々ベクトルの回転 : http://hooktail.sub.jp/vectorana...
.. _続4ベクトルの回転 : http://hooktail.sub.jp/vectorana...
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-03-13@@
@@category:物理数学@@
@@id:simDifEqu@@
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ジョルダン標準形の指数関数の応用
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我々は ジョルダン細胞のn乗_ に於いて、行列の指数関数を
考えましたが、今回の話はその応用例です。
一次連立微分方程式
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どんな正方行列 $A$ も複素数の範囲でジョルダン標準形 $J$ ...
(運が良い時には対角行列になります。)
つまり、固有ベクトル(正確にはジョルダン基底というようです。
掲示板でご指摘いただきました。数学男子さんに感謝です^_^。
)を並べた正則行列を $P$ と置くと、
<tex>
J = P^{-1}AP \tag{##}
</tex>
となります。ここで次の連立方程式の解を求めることにこの事...
n次列ベクトルを $\bm{x}$ と置くと、
<tex>
\dfrac{d \bm{x}}{dt} = A \bm{x} \tag{##}
</tex>
です。式 $ (2) $ に左から $P^{-1}$ を掛けると、 $P^{-1} \...
<tex>
P^{-1} \dfrac{d \bm{x}}{dt} = P^{-1} A \bm{x} \tag{##}
</tex>
<tex>
\dfrac{d P^{-1} \bm{x}}{dt} = P^{-1} A P P^{-1} \bm{x} \...
</tex>
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\dfrac{d \bm{y}}{dt} = J \bm{y} \tag{##}
</tex>
となり、 $J$ はまさにジョルダン標準形です。
ここで初期状態を $ \bm{x}_0 $ とし、対応する $\bm{y}$ を ...
すると、少し天下り的ですが、解は次のようになります。(行...
をご覧ください。)
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\bm{y} = \exp ( t J ) \bm{y}_0 \tag{##}
</tex>
この式は微分すると、確かに
<tex>
\dfrac{d \bm{y}}{dt} &= J \exp( t J ) \bm{y}_0 \\
&= J \bm{y} \tag{##}
</tex>
となっていますね。こういう視点で考えると実は ベクトルの回...
新しい見方ができます。それは、 続4ベクトルの回転_ で扱い...
それでは今日はこの辺で。
お疲れ様でした。
.. _ジョルダン細胞のn乗: http://hooktail.sub.jp/mathInPh...
.. _ベクトルの回転 : http://hooktail.sub.jp/vectoranalysi...
.. _続々ベクトルの回転 : http://hooktail.sub.jp/vectorana...
.. _続4ベクトルの回転 : http://hooktail.sub.jp/vectorana...
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-03-13@@
@@category:物理数学@@
@@id:simDifEqu@@
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