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==================
サイクロイド
==================
ここではサイクロイドについて解説します。
------------------------------
サイクロイドとは?
------------------------------
サイクロイドは、ある直線上で円板を滑ることなく転がしたと...
.. image:: co-cycloid-fig01.png
数学的に言えば、円 $C$ (半径 $a$ )が $x$ 軸に接しながら回...
数式であらわすと
<tex>
x & = a( \theta - \sin \theta) \tag{#def(cycloid_x)}\\
y & = a( 1 - \cos \theta) \tag{#def(cycloid_y)}
</tex>
です。
実際に円盤を滑ることなく転がしたときの軌跡を、アニメーシ...
.. image:: co-cycloid-fig02.gif
--------------------------------
サイクロイド曲線の性質
--------------------------------
サイクロイド曲線が持つおもな性質をみてみましょう。
/////////////////////////////////
弧の長さ
/////////////////////////////////
(#ref(cycloid_x)),(#ref(cycloid_y))で表されるサイクロイド...
弧の微小部分の長さ $ds$ は次のように書けます。
<tex>
ds & = \sqrt{{dy}^2 + {dx}^2} \\
& = \sqrt{\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 + \left(...
</tex>
(#ref(ds))式に (#ref(cycloid_x)),(#ref(cycloid_y)) 式を代...
<tex>
ds & = a \sqrt{ (1-\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} \ d\th...
& = a \sqrt{ 2(1-\cos\theta)} \ d\theta \\
& = a \sqrt{ 2 \cdot 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} \ d\th...
& = 2 a | \sin \frac{\theta}{2} | \ d\theta \tag{#def(...
</tex>
となります。
2行目から 3行目への変形に三角関数の半角の公式 $\cos \thet...
(#ref(ds2))式を $0$ から $2\pi$ まで積分すれば弧の長さ $L...
<tex>
L & = \int_{\text{A}}^{\text{B}} \ ds \\
& = \int_0^{2\pi} 2a \sin \frac{\theta}{2} \ d\theta \\
& = 2a \left[ - 2 \cos \frac{\theta}{2} \right]_0^{2\pi...
& = 8a \tag{##}
</tex>
より、弧の長さは $L = 8a$ となることが分かりました。
/////////////////////////////////////
面積
/////////////////////////////////////
(#ref(cycloid_x)),(#ref(cycloid_y))で表されるサイクロイド...
面積 $S$ は次のように表されます。
<tex>
S & = \int_0^{2\pi a} y dx \\
& = \int_0^{2\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta \tag{#de...
</tex>
(#ref(cycloid_x)),(#ref(cycloid_y)) 式を (#ref(S)) 式に代...
<tex>
S & = a^2 \int_0^{2\pi} ( 1- \cos \theta)^2 d\theta \\
& = a^2 \int_0^{2\pi} ( 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \the...
& = a^2 \int_0^{2\pi} \left( 1 - 2 \cos \theta + \frac{...
& = a^2 \int_0^{2\pi} \left( \frac{3}{2} - 2 \cos \thet...
& = 3 \pi a^2 \tag{##}
</tex>
となるので、面積は $S = 3 \pi a^2$ であることが分かりまし...
-------------------------------------
サイクロイドと物理
-------------------------------------
ここまではサイクロイドの数学的な説明をしてきました。
サイクロイドは数学的に見ても美しい曲線です。
これに物理を加えるとさらに興味深い話がたくさん出てきます。
サイクロイド振り子_ (ホイヘンス振り子)、 最速降下曲線 な...
ぜひ併せてお読みください!
.. _サイクロイド振り子: ../../mechanics/cycloidpendulum/i...
.. _最速降下曲線: http://yahoo.co.jp/
@@author: CO@@
@@accept: 2005-03-14@@
@@category: 物理数学@@
@@id:cycloid@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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サイクロイド
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ここではサイクロイドについて解説します。
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サイクロイドとは?
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サイクロイドは、ある直線上で円板を滑ることなく転がしたと...
.. image:: co-cycloid-fig01.png
数学的に言えば、円 $C$ (半径 $a$ )が $x$ 軸に接しながら回...
数式であらわすと
<tex>
x & = a( \theta - \sin \theta) \tag{#def(cycloid_x)}\\
y & = a( 1 - \cos \theta) \tag{#def(cycloid_y)}
</tex>
です。
実際に円盤を滑ることなく転がしたときの軌跡を、アニメーシ...
.. image:: co-cycloid-fig02.gif
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サイクロイド曲線の性質
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サイクロイド曲線が持つおもな性質をみてみましょう。
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弧の長さ
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(#ref(cycloid_x)),(#ref(cycloid_y))で表されるサイクロイド...
弧の微小部分の長さ $ds$ は次のように書けます。
<tex>
ds & = \sqrt{{dy}^2 + {dx}^2} \\
& = \sqrt{\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 + \left(...
</tex>
(#ref(ds))式に (#ref(cycloid_x)),(#ref(cycloid_y)) 式を代...
<tex>
ds & = a \sqrt{ (1-\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} \ d\th...
& = a \sqrt{ 2(1-\cos\theta)} \ d\theta \\
& = a \sqrt{ 2 \cdot 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} \ d\th...
& = 2 a | \sin \frac{\theta}{2} | \ d\theta \tag{#def(...
</tex>
となります。
2行目から 3行目への変形に三角関数の半角の公式 $\cos \thet...
(#ref(ds2))式を $0$ から $2\pi$ まで積分すれば弧の長さ $L...
<tex>
L & = \int_{\text{A}}^{\text{B}} \ ds \\
& = \int_0^{2\pi} 2a \sin \frac{\theta}{2} \ d\theta \\
& = 2a \left[ - 2 \cos \frac{\theta}{2} \right]_0^{2\pi...
& = 8a \tag{##}
</tex>
より、弧の長さは $L = 8a$ となることが分かりました。
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面積
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(#ref(cycloid_x)),(#ref(cycloid_y))で表されるサイクロイド...
面積 $S$ は次のように表されます。
<tex>
S & = \int_0^{2\pi a} y dx \\
& = \int_0^{2\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta \tag{#de...
</tex>
(#ref(cycloid_x)),(#ref(cycloid_y)) 式を (#ref(S)) 式に代...
<tex>
S & = a^2 \int_0^{2\pi} ( 1- \cos \theta)^2 d\theta \\
& = a^2 \int_0^{2\pi} ( 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \the...
& = a^2 \int_0^{2\pi} \left( 1 - 2 \cos \theta + \frac{...
& = a^2 \int_0^{2\pi} \left( \frac{3}{2} - 2 \cos \thet...
& = 3 \pi a^2 \tag{##}
</tex>
となるので、面積は $S = 3 \pi a^2$ であることが分かりまし...
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サイクロイドと物理
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ここまではサイクロイドの数学的な説明をしてきました。
サイクロイドは数学的に見ても美しい曲線です。
これに物理を加えるとさらに興味深い話がたくさん出てきます。
サイクロイド振り子_ (ホイヘンス振り子)、 最速降下曲線 な...
ぜひ併せてお読みください!
.. _サイクロイド振り子: ../../mechanics/cycloidpendulum/i...
.. _最速降下曲線: http://yahoo.co.jp/
@@author: CO@@
@@accept: 2005-03-14@@
@@category: 物理数学@@
@@id:cycloid@@
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