記事ソース/コラム第 1 回 『特殊な一階の常微分方程式』
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コラム第 1 回 『特殊な一階の常微分方程式』
=========================================================...
先日,かぎしっぽのメーリングリストで,池の氷の成長速度 (...
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u
= \frac{\, a \,}{\, u \,} \qquad \tag{1}
</tex>
という関係があるというものでした。この微分方程式の解は,...
<tex>
u = \pm \sqrt{\mathstrut 2 a t + C \,} \qquad \tag{2}
</tex>
と表されます `(註 1)`_ 。つまり,大雑把にいえば $\sqrt{\m...
.. _cf01:
(註 1)
この問題の場合は,氷の厚さですので,常に $0 \leq ...
この微分方程式を眺めていて,
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a u \qquad...
</tex>
の解が,積分定数 $C$ を用いて,
<tex>
u = \pm C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{4}
</tex>
で表されることが頭に浮かんで来ました。この二つの微分方程...
.. _eq05:
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a {u}^{k} ...
</tex>
という形をしています `(註 2)`_ 。
しかし,その解は,一方では平方根,もう一方は指数関数と,...
.. _cf02:
(註 2)
\(5) 式で $k = -1$ とおくと (1) 式になり, $k = 1$...
.. _cf03:
(註 3)
\(5) 式は,左辺が $u$ の一階の導関数です。このよ...
前提条件
=========================================================...
さて, `(5) 式`_ を解く訳ですが,その前提条件を決めておき...
.. _cf04:
(註 4)
この条件では, $0 < t$ で右辺は常に正の値を取りま...
ここで,簡単の為に, ${}^{\prime}$ は $t$ による微分を表...
$\displaystyle {u}^{\prime} = \frac{\, \mathrm{d} \,}{\, ...
です。これを用いると, `(5) 式`_ は,
.. _eq06:
<tex>
{u}^{\prime} = a {u}^{k} \qquad \tag{6}
</tex>
となります。
では解いてみましょう
=========================================================...
`(6) 式`_ は, `変数分離形`_ で解く事が出来ますが,ここで...
まず, $0 < t$ において, $0 < u$ であることから, `(6) ...
<tex>
{u}^{-k} {u}^{\prime} = a \qquad \tag{7}
</tex>
となります。
ここで,函数 $u$ に対して, $j \neq 0$ のとき, ${u}^{j}$...
<tex>
{\left({u}^{j}\right)}^{\prime} = j {{u}^{j - 1}} {u}^{\p...
</tex>
が成り立ちます。
ここで (8) 式を $j \neq 0$ に注意して整理しますと,
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{j}\right)}^{\prime}\,}{j} = {{u}^{j -...
\qquad \tag{9}
</tex>
となります。
さて, (9) 式において, $j - 1 = -k$ とおくと, $j = 1 - ...
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k}
= {{u}^{-k}} {u}^{\prime} \qquad \tag{10}
</tex>
となります。
ところで, (10) 式の右辺は, (7) 式の左辺に等しいので,
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k} = a
\qquad \tag{11}
</tex>
即ち,
<tex>
\left({u}^{1 - k}\right)^{\prime} = a (1 - k) \qquad \tag...
</tex>
となります。
ここで, (12) 式の右辺 ( $a (1 - k)$ ) は定数であることに...
<tex>
{u}^{1 - k} = a (1 - k) t + C \qquad \tag{13}
</tex>
となりますから, $0 \leq u$ より,この両辺の
$1 - k \, \left( \mathstrut k \neq 1 \right)$ 乗根を取る...
<tex>
u = {\left\{ a (1 - k) t + C \right\}}^
{\frac{\displaystyle {1}}{\displaystyle \, 1 - k \, }...
</tex>
となります。
一方, $k = 1$ のときは,解くべき微分方程式 ( `(6) 式`_ )...
<tex>
{u}^{\prime} = a u \qquad \tag{15}
</tex>
即ち
<tex>
\frac{\, {u}^{\prime} \,}{u} = a \qquad \tag{16}
</tex>
となりますから, $0 < u$ のとき,
<tex>
{\left(\ln u \right)}^{\prime} = \frac{\, {u}^{\prime} \,...
\qquad \tag{17}
</tex>
より `(註 5)`_ ,
<tex>
{\left(\ln u \right)}^{\prime} = a \qquad \tag{18}
</tex>
となります。
.. _cf05:
(註 5)
ここで $\ln x$ は,${\log}_{\mathrm{e}} x$ のこと...
\(18) 式の両辺を $t$ で積分して,
<tex>
\ln u = a t + C \qquad \tag{19}
</tex>
即ち,
<tex>
u = \mathrm{e}^{a t + C} = \mathrm{e}^{C} \mathrm{e}^{at}...
</tex>
となりますが, $\mathrm{e}^{C}$ は定数ですので,これを改...
<tex>
u = C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{21}
</tex>
となります。
解
=========================================================...
纏めますと, ${u}^{\prime} = a {u}^{k}$ の解は, $C$ を積...
<tex>
u =
\left\{
\begin{array}{ll}
C \mathrm{e}^{at} & (k = 1) \\
{\left\{ a (1 - k) t + C \right\}}^
{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \, ...
& (k \neq 1)
\end{array}
\right.
</tex>
となります。これは, ${t}^{j}$ の $t$ での積分,即ち
$\int \! {t}^{j} \, \mathrm{d}t$ が, $j = -1$ と $j \neq...
と,いうことで,今回のコラムはこれで終わります。合掌
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%...
% 数式用ページ内リンク
.. _(5) 式: #eq05
.. _(6) 式: #eq06
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%...
% 脚注 (参考) 用ページ内リンク
.. _(註 1): #cf01
.. _(註 2): #cf02
.. _(註 3): #cf03
.. _(註 4): #cf04
.. _(註 5): #cf05
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%...
% ページ外リンク
.. _変数分離形: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separat...
@@author:K. I.@@
@@accept:2014-07-20@@
@@category:コラム@@
@@id:column0001@@
終了行:
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コラム第 1 回 『特殊な一階の常微分方程式』
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先日,かぎしっぽのメーリングリストで,池の氷の成長速度 (...
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u
= \frac{\, a \,}{\, u \,} \qquad \tag{1}
</tex>
という関係があるというものでした。この微分方程式の解は,...
<tex>
u = \pm \sqrt{\mathstrut 2 a t + C \,} \qquad \tag{2}
</tex>
と表されます `(註 1)`_ 。つまり,大雑把にいえば $\sqrt{\m...
.. _cf01:
(註 1)
この問題の場合は,氷の厚さですので,常に $0 \leq ...
この微分方程式を眺めていて,
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a u \qquad...
</tex>
の解が,積分定数 $C$ を用いて,
<tex>
u = \pm C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{4}
</tex>
で表されることが頭に浮かんで来ました。この二つの微分方程...
.. _eq05:
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a {u}^{k} ...
</tex>
という形をしています `(註 2)`_ 。
しかし,その解は,一方では平方根,もう一方は指数関数と,...
.. _cf02:
(註 2)
\(5) 式で $k = -1$ とおくと (1) 式になり, $k = 1$...
.. _cf03:
(註 3)
\(5) 式は,左辺が $u$ の一階の導関数です。このよ...
前提条件
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さて, `(5) 式`_ を解く訳ですが,その前提条件を決めておき...
.. _cf04:
(註 4)
この条件では, $0 < t$ で右辺は常に正の値を取りま...
ここで,簡単の為に, ${}^{\prime}$ は $t$ による微分を表...
$\displaystyle {u}^{\prime} = \frac{\, \mathrm{d} \,}{\, ...
です。これを用いると, `(5) 式`_ は,
.. _eq06:
<tex>
{u}^{\prime} = a {u}^{k} \qquad \tag{6}
</tex>
となります。
では解いてみましょう
=========================================================...
`(6) 式`_ は, `変数分離形`_ で解く事が出来ますが,ここで...
まず, $0 < t$ において, $0 < u$ であることから, `(6) ...
<tex>
{u}^{-k} {u}^{\prime} = a \qquad \tag{7}
</tex>
となります。
ここで,函数 $u$ に対して, $j \neq 0$ のとき, ${u}^{j}$...
<tex>
{\left({u}^{j}\right)}^{\prime} = j {{u}^{j - 1}} {u}^{\p...
</tex>
が成り立ちます。
ここで (8) 式を $j \neq 0$ に注意して整理しますと,
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{j}\right)}^{\prime}\,}{j} = {{u}^{j -...
\qquad \tag{9}
</tex>
となります。
さて, (9) 式において, $j - 1 = -k$ とおくと, $j = 1 - ...
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k}
= {{u}^{-k}} {u}^{\prime} \qquad \tag{10}
</tex>
となります。
ところで, (10) 式の右辺は, (7) 式の左辺に等しいので,
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k} = a
\qquad \tag{11}
</tex>
即ち,
<tex>
\left({u}^{1 - k}\right)^{\prime} = a (1 - k) \qquad \tag...
</tex>
となります。
ここで, (12) 式の右辺 ( $a (1 - k)$ ) は定数であることに...
<tex>
{u}^{1 - k} = a (1 - k) t + C \qquad \tag{13}
</tex>
となりますから, $0 \leq u$ より,この両辺の
$1 - k \, \left( \mathstrut k \neq 1 \right)$ 乗根を取る...
<tex>
u = {\left\{ a (1 - k) t + C \right\}}^
{\frac{\displaystyle {1}}{\displaystyle \, 1 - k \, }...
</tex>
となります。
一方, $k = 1$ のときは,解くべき微分方程式 ( `(6) 式`_ )...
<tex>
{u}^{\prime} = a u \qquad \tag{15}
</tex>
即ち
<tex>
\frac{\, {u}^{\prime} \,}{u} = a \qquad \tag{16}
</tex>
となりますから, $0 < u$ のとき,
<tex>
{\left(\ln u \right)}^{\prime} = \frac{\, {u}^{\prime} \,...
\qquad \tag{17}
</tex>
より `(註 5)`_ ,
<tex>
{\left(\ln u \right)}^{\prime} = a \qquad \tag{18}
</tex>
となります。
.. _cf05:
(註 5)
ここで $\ln x$ は,${\log}_{\mathrm{e}} x$ のこと...
\(18) 式の両辺を $t$ で積分して,
<tex>
\ln u = a t + C \qquad \tag{19}
</tex>
即ち,
<tex>
u = \mathrm{e}^{a t + C} = \mathrm{e}^{C} \mathrm{e}^{at}...
</tex>
となりますが, $\mathrm{e}^{C}$ は定数ですので,これを改...
<tex>
u = C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{21}
</tex>
となります。
解
=========================================================...
纏めますと, ${u}^{\prime} = a {u}^{k}$ の解は, $C$ を積...
<tex>
u =
\left\{
\begin{array}{ll}
C \mathrm{e}^{at} & (k = 1) \\
{\left\{ a (1 - k) t + C \right\}}^
{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \, ...
& (k \neq 1)
\end{array}
\right.
</tex>
となります。これは, ${t}^{j}$ の $t$ での積分,即ち
$\int \! {t}^{j} \, \mathrm{d}t$ が, $j = -1$ と $j \neq...
と,いうことで,今回のコラムはこれで終わります。合掌
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%...
% 数式用ページ内リンク
.. _(5) 式: #eq05
.. _(6) 式: #eq06
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% 脚注 (参考) 用ページ内リンク
.. _(註 1): #cf01
.. _(註 2): #cf02
.. _(註 3): #cf03
.. _(註 4): #cf04
.. _(註 5): #cf05
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%...
% ページ外リンク
.. _変数分離形: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separat...
@@author:K. I.@@
@@accept:2014-07-20@@
@@category:コラム@@
@@id:column0001@@
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