記事ソース/グリーン関数を理解しよう(電子とフォノンのグリーン関数)
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=========================================================...
グリーン関数を理解しよう(電子とフォノンのグリーン関数)
=========================================================...
これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目...
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針...
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は 相関関数の計算_ です。
次の記事は ウィックの定理_ です。( 目次_ )
相互作用をしないグリーン関数
=============================================
これからいくつかの種類のグリーン関数が出てきます。
それらは、電子、フォノン、フォトンです。
このうち、フォトンは複雑なのでこのシリーズの最後の記事で...
まずは、フェルミオンである電子と
ボゾンであるフォノンのグリーン関数を考えます。
さて、 前回_ の続きを考えましょう。それは
<tex>
G(\lambda,t-t^\prime)
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\lambda(t) \hat{C}^\d...
\tag{##}
</tex>
が結論でした。ここで相互作用をしない時を考えます。
つまり、 $V=0$ の時です。
この時、
<tex>
S(t,t^\prime) = T \exp \left[ -i\int_{t^\prime}^t dt_1 \h...
\tag{##}
</tex>
でしたから、 $\hat{V}(t) = e^{i H_0 t} V e^{-i H_0 t} = 0...
( $V$ は $H$ の摂動部分 $V=H-H_0$ 、 $\hat{V}(t)$ は相互...
<tex>
S(\infty,-\infty) = 1
\tag{##}
</tex>
となります。
よって、相互作用をしない時のグリーン関数を $G^{(0)}(\lamb...
<tex>
G^{(0)}(\lambda,t-t^\prime) &= -i \ _0 \langle | T \hat{C...
\tag{##}
</tex>
と書けます。そんなものを知って何が嬉しいの?と思うかもし...
なんと、相互作用のある場合のグリーン関数も、それらを素材...
厳密に表現できるのです。
ここで用語について触れておきましょう。
「相互作用をしない」は「自由な」とか「非摂動」と呼ばれま...
「グリーン関数」も「プロパゲータ」とか「レゾルベント」な...
つまり、「非摂動グリーン関数」とか「自由なプロパゲータ」...
電子とフォノンの自由なグリーン関数(空のバンド)
=======================================================
この場合、穏やかな真空の背景の中にただ一つの電子がある状...
基底状態を穏やかな真空とし $| 0 \rangle$ とします。
ここに電子やフォノンは存在しないという意味で、「穏やかな...
この時、状態を指定する運動量(スピンは省略) $\bm{p}$ を使...
電子の消滅演算子を $C_{\bm{p}}$ 、フォノンの消滅演算子 $a...
<tex>
C_{\bm{p}} | 0 \rangle = 0 \\
a_{\bm{p}} | 0 \rangle = 0
\tag{##}
</tex>
が成立します。ここでフェルミオンとボゾンの違いは、生成消...
グリーン関数の第二項の符号に関わってきますが、この空バン...
それを $G$ で表すとします。
ここで、 $H=H_0$ ですから、ゲルマン・ロウの定理は、
<tex>
S(0,-\infty) | \rangle_0 = | \rangle
\tag{##}
</tex>
でした。これは、消滅演算子を右端に含む $H_0,V$ のどちらを...
時間発展しない( $e^{-iHt} = e^{0} = 1$ で表される)ことか...
<tex>
S(0,-\infty) | 0 \rangle = | 0 \rangle
\tag{##}
</tex>
と書けます。 $| \rangle = | \rangle_0 = | 0 \rangle$ なん...
(一応確認しておくと、順に $H$ の基底状態、 $H_0$ の基底...
すると、
<tex>
G(\lambda,t-t^\prime)
&= G^{(0)}(\lambda,t-t^\prime) \\
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 |\hat{C}_\lambda(t) \h...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} \hat{C}_...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} \hat{C}_...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} \hat{C}_...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} \hat{C}_...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} e^{-i \v...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i \varepsilon_0 t...
&= -i \Theta(t-t^\prime) e^{-i (\varepsilon_\lambda-\vare...
\tag{##}
</tex>
フーリエ変換を下で定義します。
<tex>
G(\lambda, E) = \int_{-\infty}^\infty dt e^{iEt} G(\lambd...
\tag{##}
</tex>
すると、 $G^{(0)}$ は簡潔にかけます。( $\varepsilon_0 = 0...
積分を収束させるため、 $E$ 複素平面上の積分路をずらす効果...
すると、
<tex>
G^{(0)}(\lambda, E)
&= \int_{-\infty}^\infty dt e^{iEt} e^{- \delta t} G^{(0)...
&= -i \int_{-\infty}^\infty dt e^{i(E+i \delta)t} ( \Thet...
&= -i \int_{0}^\infty dt e^{ i (E - \varepsilon_\lambda +...
&= \dfrac{1}{E - \varepsilon_\lambda + i \delta}
\tag{##}
</tex>
電子の自由なグリーン関数(金属中等、縮退した電子ガス中)
=========================================================...
絶対零度なので、この場合、基底状態はフェルミ縮退を起こし...
電子を多数含みます。
生成消滅演算子は $C^\dagger C$ は粒子数演算子だったことを...
絶対零度では、これは運動量の空間で、階段関数になります。
フェルミ運動量を $p_F$ とすれば、つまり、
<tex>
_0 \langle | C^\dagger_{\bm{k}} C_{\bm{k}} | \rangle_0 &...
_0 \langle | C_{\bm{k}} C^\dagger_{\bm{k}} | \rangle_0 &...
\tag{##}
</tex>
となります。
また、エネルギーで考えると、自由なグリーン関数は、式 $(8)...
化学ポテンシャル(フェルミエネルギー)を $\mu$ として $\x...
<tex>
G^{(0)}(\lambda,t-t^\prime)
&= -i \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | C_{\bm{k}}(t) C^\...
&= -i [\Theta(t-t^\prime) \Theta(\xi_{\bm{k}}) - \Theta(t...
\tag{##}
</tex>
少し余談をすると、一般的な有限温度での場合も容易に書けて、
フェルミ分布関数を
<tex>
n_F(\xi_{\bm{k}}) = \dfrac{1}{e^{\beta \xi_k}+1}
\tag{##}
</tex>
とすれば式 $(11)$ は、フェルミオンの反交換関係 $ C C^\dag...
<tex>
_0 \langle | C^\dagger_{\bm{k}} C_{\bm{k}} | \rangle_0 &...
_0 \langle | C_{\bm{k}} C^\dagger_{\bm{k}} | \rangle_0 &...
\tag{##}
</tex>
となります。
下段の最後の等式は式 $(13)$ を見れば、納得できるものと思...
<tex>
G^{(0)}(\lambda,t-t^\prime)
&= -i \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | C_{\bm{k}}(t) C^\...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | C_{\bm{k}} C^\dag...
&= -i [\Theta(t-t^\prime) n_F(\xi_{\bm{k}}) - \Theta(t^\p...
\tag{##}
</tex>
となります。
話を戻して、自由な電子グリーン関数のフーリエ変換は、
<tex>
G^{(0)}(\bm{k},E)
&= -i
\left[
\Theta(\xi_{\bm{k}}) \int_0^{\infty} dt e^{i(E -\xi_k +i ...
- \Theta(-\xi_{\bm{k}}) \int_{-\infty}^0 dt e^{i(E -\xi_k...
\right] \\
&= \dfrac{\Theta(\xi_{\bm{k}})}{E -\xi_k +i \delta} + \df...
\tag{##}
</tex>
これは、符号付き収束因子 $\delta_{\bm{k}} = \delta \rm{sg...
<tex>
G^{(0)}(\bm{k},E)
&= \dfrac{1}{E -\xi_k +i \delta_{\bm{k}}}
\tag{##}
</tex>
とも書けます。つまり、 $\delta_{\bm{k}}$ は化学ポテンシャ...
フォノンの自由なグリーン関数
==========================================
最後にフォノンの自由なグリーン関数 $D^{(0)}(\bm{q},\lambd...
定義は、フォノンの消滅演算子を $a_{\bm{q}\lambda}$ として、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},\lambda,t-t^\prime)
&= -i \langle |T A_{\bm{q}\lambda}(t) A_{\bm{-q}\lambda}(...
A_{\bm{q}\lambda}(t) &= e^{i H_0 t} A_{\bm{q}\lambda} e^{...
A_{\bm{q}\lambda} &= a_{\bm{q}\lambda} + a^\dagger_{-\bm{...
\tag{##}
</tex>
です。 $\lambda$ は非等方媒質等で必要になるフォノンの偏極...
参考文献によると、大抵の場合はフォノン偏極を混ぜない一種...
さあ、相互作用表示では、フォノンの摂動入りグリーン関数は、
<tex>
D(\bm{q},t-t^\prime) = -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{A}_{...
\tag{##}
</tex>
となります。これも自由な場合( $V=0$ )のフーリエ変換を求め...
を $\omega_{\bm{q}} \ \ ( = \omega_{- \bm{q}})$ として、 ...
<tex>
&\langle | a_{\bm{q}} a^\dagger_{\bm{q}} | \rangle = N_{\...
&\langle | a^\dagger_{\bm{q}} a_{\bm{q}} | \rangle = N_{\...
&\langle | a_{\bm{q}} a_{-\bm{q}} | \rangle = 0 \\
&\langle | a^\dagger_{\bm{q}} a^\dagger_{-\bm{q}} | \rang...
\tag{##}
</tex>
を使うと、上の式から $N_{\bm{q}} = \dfrac{1}{e^{\beta \om...
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t-t^\prime)
&= -i _0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}}(t) \hat{A}_{-\bm{q}...
&= -i _0 \langle | T (a_{\bm{q}}e^{-i \omega_q t} + a^\da...
&= -i _0 \langle | T (a_{\bm{q}}e^{-i \omega_q t} + a^\da...
&= -i \Theta(t-t^\prime) (a_{\bm{q}}a^\dagger_{\bm{q}} e^...
&= -i \Theta(t-t^\prime) (a_{-\bm{q}}a^\dagger_{-\bm{q}} ...
&=-i \Theta(t-t^\prime) ((N_{\bm{q}}+1) e^{-i \omega_q (t...
&- i \Theta(t^\prime-t) ((N_{-\bm{q}}+1) e^{i \omega_q (t...
&=-i ((N_{\bm{q}}+1) e^{-i \omega_q |t-t^\prime|} + N_{\b...
\tag{##}
</tex>
となります。絶対零度では、
<tex>
&\langle | a_{\bm{q}} a^\dagger_{\bm{q}} | \rangle = 1 \\
&\langle | a^\dagger_{\bm{q}} a_{\bm{q}} | \rangle = 0 \\
&\langle | a_{\bm{q}} a_{-\bm{q}} | \rangle = 0 \\
&\langle | a^\dagger_{\bm{q}} a^\dagger_{-\bm{q}} | \rang...
\tag{##}
</tex>
を使って、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t-t^\prime) = -i e^{-i \omega_q |t-t^\prim...
\tag{##}
</tex>
をフーリエ変換して、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},\omega) &= \int_{-\infty}^\infty dt e^{i \...
&= -i \int_{-\infty}^\infty dt e^{i \omega t - \delta |t|...
&= - i \int_0^\infty dt e^{i (\omega - \omega_{\bm{q}} +i...
&- i \int_{-\infty}^0 dt e^{i (\omega + \omega_{\bm{q}}...
&= \dfrac{1}{\omega - \omega_{\bm{q}} +i \delta} - \dfrac...
&= \dfrac{2 \omega_{\bm{q}}}{\omega^2 - \omega_{\bm{q}}^2...
\tag{##}
</tex>
となります。次の記事では、ここで求めた基本的な自由なグリ...
今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は ウィックの定理_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _相関関数の計算: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG...
.. _前回: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen02/
.. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG...
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen03@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
グリーン関数を理解しよう(電子とフォノンのグリーン関数)
=========================================================...
これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目...
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針...
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は 相関関数の計算_ です。
次の記事は ウィックの定理_ です。( 目次_ )
相互作用をしないグリーン関数
=============================================
これからいくつかの種類のグリーン関数が出てきます。
それらは、電子、フォノン、フォトンです。
このうち、フォトンは複雑なのでこのシリーズの最後の記事で...
まずは、フェルミオンである電子と
ボゾンであるフォノンのグリーン関数を考えます。
さて、 前回_ の続きを考えましょう。それは
<tex>
G(\lambda,t-t^\prime)
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\lambda(t) \hat{C}^\d...
\tag{##}
</tex>
が結論でした。ここで相互作用をしない時を考えます。
つまり、 $V=0$ の時です。
この時、
<tex>
S(t,t^\prime) = T \exp \left[ -i\int_{t^\prime}^t dt_1 \h...
\tag{##}
</tex>
でしたから、 $\hat{V}(t) = e^{i H_0 t} V e^{-i H_0 t} = 0...
( $V$ は $H$ の摂動部分 $V=H-H_0$ 、 $\hat{V}(t)$ は相互...
<tex>
S(\infty,-\infty) = 1
\tag{##}
</tex>
となります。
よって、相互作用をしない時のグリーン関数を $G^{(0)}(\lamb...
<tex>
G^{(0)}(\lambda,t-t^\prime) &= -i \ _0 \langle | T \hat{C...
\tag{##}
</tex>
と書けます。そんなものを知って何が嬉しいの?と思うかもし...
なんと、相互作用のある場合のグリーン関数も、それらを素材...
厳密に表現できるのです。
ここで用語について触れておきましょう。
「相互作用をしない」は「自由な」とか「非摂動」と呼ばれま...
「グリーン関数」も「プロパゲータ」とか「レゾルベント」な...
つまり、「非摂動グリーン関数」とか「自由なプロパゲータ」...
電子とフォノンの自由なグリーン関数(空のバンド)
=======================================================
この場合、穏やかな真空の背景の中にただ一つの電子がある状...
基底状態を穏やかな真空とし $| 0 \rangle$ とします。
ここに電子やフォノンは存在しないという意味で、「穏やかな...
この時、状態を指定する運動量(スピンは省略) $\bm{p}$ を使...
電子の消滅演算子を $C_{\bm{p}}$ 、フォノンの消滅演算子 $a...
<tex>
C_{\bm{p}} | 0 \rangle = 0 \\
a_{\bm{p}} | 0 \rangle = 0
\tag{##}
</tex>
が成立します。ここでフェルミオンとボゾンの違いは、生成消...
グリーン関数の第二項の符号に関わってきますが、この空バン...
それを $G$ で表すとします。
ここで、 $H=H_0$ ですから、ゲルマン・ロウの定理は、
<tex>
S(0,-\infty) | \rangle_0 = | \rangle
\tag{##}
</tex>
でした。これは、消滅演算子を右端に含む $H_0,V$ のどちらを...
時間発展しない( $e^{-iHt} = e^{0} = 1$ で表される)ことか...
<tex>
S(0,-\infty) | 0 \rangle = | 0 \rangle
\tag{##}
</tex>
と書けます。 $| \rangle = | \rangle_0 = | 0 \rangle$ なん...
(一応確認しておくと、順に $H$ の基底状態、 $H_0$ の基底...
すると、
<tex>
G(\lambda,t-t^\prime)
&= G^{(0)}(\lambda,t-t^\prime) \\
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 |\hat{C}_\lambda(t) \h...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} \hat{C}_...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} \hat{C}_...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} \hat{C}_...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} \hat{C}_...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i H_0 t} e^{-i \v...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \langle 0 | e^{i \varepsilon_0 t...
&= -i \Theta(t-t^\prime) e^{-i (\varepsilon_\lambda-\vare...
\tag{##}
</tex>
フーリエ変換を下で定義します。
<tex>
G(\lambda, E) = \int_{-\infty}^\infty dt e^{iEt} G(\lambd...
\tag{##}
</tex>
すると、 $G^{(0)}$ は簡潔にかけます。( $\varepsilon_0 = 0...
積分を収束させるため、 $E$ 複素平面上の積分路をずらす効果...
すると、
<tex>
G^{(0)}(\lambda, E)
&= \int_{-\infty}^\infty dt e^{iEt} e^{- \delta t} G^{(0)...
&= -i \int_{-\infty}^\infty dt e^{i(E+i \delta)t} ( \Thet...
&= -i \int_{0}^\infty dt e^{ i (E - \varepsilon_\lambda +...
&= \dfrac{1}{E - \varepsilon_\lambda + i \delta}
\tag{##}
</tex>
電子の自由なグリーン関数(金属中等、縮退した電子ガス中)
=========================================================...
絶対零度なので、この場合、基底状態はフェルミ縮退を起こし...
電子を多数含みます。
生成消滅演算子は $C^\dagger C$ は粒子数演算子だったことを...
絶対零度では、これは運動量の空間で、階段関数になります。
フェルミ運動量を $p_F$ とすれば、つまり、
<tex>
_0 \langle | C^\dagger_{\bm{k}} C_{\bm{k}} | \rangle_0 &...
_0 \langle | C_{\bm{k}} C^\dagger_{\bm{k}} | \rangle_0 &...
\tag{##}
</tex>
となります。
また、エネルギーで考えると、自由なグリーン関数は、式 $(8)...
化学ポテンシャル(フェルミエネルギー)を $\mu$ として $\x...
<tex>
G^{(0)}(\lambda,t-t^\prime)
&= -i \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | C_{\bm{k}}(t) C^\...
&= -i [\Theta(t-t^\prime) \Theta(\xi_{\bm{k}}) - \Theta(t...
\tag{##}
</tex>
少し余談をすると、一般的な有限温度での場合も容易に書けて、
フェルミ分布関数を
<tex>
n_F(\xi_{\bm{k}}) = \dfrac{1}{e^{\beta \xi_k}+1}
\tag{##}
</tex>
とすれば式 $(11)$ は、フェルミオンの反交換関係 $ C C^\dag...
<tex>
_0 \langle | C^\dagger_{\bm{k}} C_{\bm{k}} | \rangle_0 &...
_0 \langle | C_{\bm{k}} C^\dagger_{\bm{k}} | \rangle_0 &...
\tag{##}
</tex>
となります。
下段の最後の等式は式 $(13)$ を見れば、納得できるものと思...
<tex>
G^{(0)}(\lambda,t-t^\prime)
&= -i \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | C_{\bm{k}}(t) C^\...
&= -i \Theta(t-t^\prime) \ _0 \langle | C_{\bm{k}} C^\dag...
&= -i [\Theta(t-t^\prime) n_F(\xi_{\bm{k}}) - \Theta(t^\p...
\tag{##}
</tex>
となります。
話を戻して、自由な電子グリーン関数のフーリエ変換は、
<tex>
G^{(0)}(\bm{k},E)
&= -i
\left[
\Theta(\xi_{\bm{k}}) \int_0^{\infty} dt e^{i(E -\xi_k +i ...
- \Theta(-\xi_{\bm{k}}) \int_{-\infty}^0 dt e^{i(E -\xi_k...
\right] \\
&= \dfrac{\Theta(\xi_{\bm{k}})}{E -\xi_k +i \delta} + \df...
\tag{##}
</tex>
これは、符号付き収束因子 $\delta_{\bm{k}} = \delta \rm{sg...
<tex>
G^{(0)}(\bm{k},E)
&= \dfrac{1}{E -\xi_k +i \delta_{\bm{k}}}
\tag{##}
</tex>
とも書けます。つまり、 $\delta_{\bm{k}}$ は化学ポテンシャ...
フォノンの自由なグリーン関数
==========================================
最後にフォノンの自由なグリーン関数 $D^{(0)}(\bm{q},\lambd...
定義は、フォノンの消滅演算子を $a_{\bm{q}\lambda}$ として、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},\lambda,t-t^\prime)
&= -i \langle |T A_{\bm{q}\lambda}(t) A_{\bm{-q}\lambda}(...
A_{\bm{q}\lambda}(t) &= e^{i H_0 t} A_{\bm{q}\lambda} e^{...
A_{\bm{q}\lambda} &= a_{\bm{q}\lambda} + a^\dagger_{-\bm{...
\tag{##}
</tex>
です。 $\lambda$ は非等方媒質等で必要になるフォノンの偏極...
参考文献によると、大抵の場合はフォノン偏極を混ぜない一種...
さあ、相互作用表示では、フォノンの摂動入りグリーン関数は、
<tex>
D(\bm{q},t-t^\prime) = -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{A}_{...
\tag{##}
</tex>
となります。これも自由な場合( $V=0$ )のフーリエ変換を求め...
を $\omega_{\bm{q}} \ \ ( = \omega_{- \bm{q}})$ として、 ...
<tex>
&\langle | a_{\bm{q}} a^\dagger_{\bm{q}} | \rangle = N_{\...
&\langle | a^\dagger_{\bm{q}} a_{\bm{q}} | \rangle = N_{\...
&\langle | a_{\bm{q}} a_{-\bm{q}} | \rangle = 0 \\
&\langle | a^\dagger_{\bm{q}} a^\dagger_{-\bm{q}} | \rang...
\tag{##}
</tex>
を使うと、上の式から $N_{\bm{q}} = \dfrac{1}{e^{\beta \om...
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t-t^\prime)
&= -i _0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}}(t) \hat{A}_{-\bm{q}...
&= -i _0 \langle | T (a_{\bm{q}}e^{-i \omega_q t} + a^\da...
&= -i _0 \langle | T (a_{\bm{q}}e^{-i \omega_q t} + a^\da...
&= -i \Theta(t-t^\prime) (a_{\bm{q}}a^\dagger_{\bm{q}} e^...
&= -i \Theta(t-t^\prime) (a_{-\bm{q}}a^\dagger_{-\bm{q}} ...
&=-i \Theta(t-t^\prime) ((N_{\bm{q}}+1) e^{-i \omega_q (t...
&- i \Theta(t^\prime-t) ((N_{-\bm{q}}+1) e^{i \omega_q (t...
&=-i ((N_{\bm{q}}+1) e^{-i \omega_q |t-t^\prime|} + N_{\b...
\tag{##}
</tex>
となります。絶対零度では、
<tex>
&\langle | a_{\bm{q}} a^\dagger_{\bm{q}} | \rangle = 1 \\
&\langle | a^\dagger_{\bm{q}} a_{\bm{q}} | \rangle = 0 \\
&\langle | a_{\bm{q}} a_{-\bm{q}} | \rangle = 0 \\
&\langle | a^\dagger_{\bm{q}} a^\dagger_{-\bm{q}} | \rang...
\tag{##}
</tex>
を使って、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t-t^\prime) = -i e^{-i \omega_q |t-t^\prim...
\tag{##}
</tex>
をフーリエ変換して、
<tex>
D^{(0)}(\bm{q},\omega) &= \int_{-\infty}^\infty dt e^{i \...
&= -i \int_{-\infty}^\infty dt e^{i \omega t - \delta |t|...
&= - i \int_0^\infty dt e^{i (\omega - \omega_{\bm{q}} +i...
&- i \int_{-\infty}^0 dt e^{i (\omega + \omega_{\bm{q}}...
&= \dfrac{1}{\omega - \omega_{\bm{q}} +i \delta} - \dfrac...
&= \dfrac{2 \omega_{\bm{q}}}{\omega^2 - \omega_{\bm{q}}^2...
\tag{##}
</tex>
となります。次の記事では、ここで求めた基本的な自由なグリ...
今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は ウィックの定理_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _相関関数の計算: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG...
.. _前回: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen02/
.. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG...
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen03@@
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