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=========================================================...
グリーン関数を理解しよう(フォトンのグリーン関数)
=========================================================...
これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目...
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針...
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は ダイソン方程式と自己エネルギー_ です。
この記事が最後です。( 目次_ )
ゲージによるクーロン相互作用とフォトン相互作用の分離
==========================================================
この記事ではフォトンのグリーン関数を求めます。
フォトンには偏光の方向があり、少々厄介なので後回しにした...
スピン無しの電磁相互作用のハミルトニアンの非相対論的極限...
<tex>
H = \sum_i \dfrac{1}{2m} \left[ \bm{p}_i - \dfrac{e_i}{c}...
\tag{##}
</tex>
となります。以下では $\mu$ や $\nu$ は $1,2,3$ もしくは $...
ベクトルポテンシャル $A$ は、
<tex>
\dfrac{1}{c} A_\mu &= \dfrac{1}{\sqrt{v}} \sum_{\bm{k} \l...
A_\mu(\bm{k},\lambda,t) &= \left( \dfrac{2 \pi}{\omega_{\...
(a_{\bm{k} \lambda} e^{-i\omega_k t}+a^\dagger_{-\bm{k} \...
\tag{##}
</tex>
となります。生成消滅演算子 $a^\dagger_{\bm{k} \lambda},a_...
<tex>
\psi_0(r) = \dfrac{e^2}{r}
\tag{##}
</tex>
はグリーン関数
<tex>
v_q = \dfrac{4 \pi e^2}{q^2}
\tag{##}
</tex>
を持ちます。この相互作用は今回の話では瞬間的に伝わる(遠隔...
このグリーン関数は既に ウィックの定理_ で出てきています。
実際これは縦方向(波数ベクトルの方向)ポテンシャルのグリー...
この瞬間に伝わる性質から、周波数依存性はありません。
ファノン相互作用で相互作用する二つの電子はフォノングリー...
<tex>
|M_{\bm{q}}|^2 D^{(0)}(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>
で表されました。これに対応して、電子電子相互作用では、 $\...
<tex>
v_q(\omega) = \dfrac{v_q}{1 - v_q P(\bm{q},\omega)}
\tag{##}
</tex>
因子 $P(\bm{q},\omega)$ は自己エネルギー、もしく偏極演算...
等方的な誘電率 $\varepsilon$ を持った一様媒質中のマクスウ...
<tex>
\nabla \cdot \bm{B} &= \bm{0} \\
\nabla \times \bm{E} &= \bm{0} \\
\varepsilon \nabla \cdot \bm{E} &= 4 \pi \rho \\
\nabla \times \bm{B} &= \dfrac{\varepsilon}{c} \dfrac{\pa...
\tag{##}
</tex>
これらを解くと、ポテンシャルを使って次の様に表せます。
<tex>
\psi(\bm{r}) &= \dfrac{1}{\varepsilon} \int \dfrac{d^3 r^...
\nabla^2 \bm{A} - \dfrac{\varepsilon}{c^2} \dfrac{\partia...
\tag{##}
</tex>
最初の式を電荷密度を点電荷 $\rho(\bm{r}^\prime) = \delta(...
<tex>
\bar{v}_q = \dfrac{v_q}{\varepsilon}
\tag{##}
</tex>
となります。これを式 $(6)$ と式 $(9)$ と比較することで、
<tex>
\varepsilon(\bm{q},\omega) = 1 - v_q P(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>
ここでは $\bm{q},\omega$ 依存性を含むように一般化しました。
この式は縦方向誘電関数の定義式になります。
クーロンポテンシャルの自己エネルギー部分から求まるのです。
フォトンの相互作用の形
==========================
ここで非摂動の相互作用 $V$ の形を求めておきましょう。フォ...
<tex>
\dfrac{e}{c}\sum_i \bm{j}(\bm{r}_i) \cdot \bm{A}(\bm{r}_i)
&= \dfrac{e}{c} \sum_{\bm{q} \mu} j_\mu(\bm{q}) A_\mu(\bm...
&= \dfrac{e}{mc} \sum_{\bm{q} \mu} A_\mu(\bm{q}) \sum_{\b...
\tag{##}
</tex>
と
<tex>
\dfrac{e^2}{2mc^2}\sum_i \bm{A}(\bm{r}_i)^2
&= \dfrac{e^2}{2m} \sum_{\bm{q} \bm{k} \mu} \rho(\bm{q}) ...
\tag{##}
</tex>
です。 $\rho$ は荷電粒子密度です。
フォトンのグリーン関数
==========================
ベクトルポテンシャルのグリーン関数(フォトンのグリーン関...
<tex>
D_{\mu \nu}(\bm{k},t-t^\prime) = -i \sum_\lambda \langle ...
\tag{##}
</tex>
となります。 $\lambda$ の和は光子の横方向(波数ベクトル $...
<tex>
D^{(0)}_{\mu \nu}(\bm{k},t-t^\prime) &= \dfrac{-2 \pi i}{...
&\times [(a_{-\bm{k} \lambda} e^{-i\omega_k t^\prime}+a^\...
&= \dfrac{-2 \pi i}{\omega_{\bm{k}}} \sum_\lambda \xi_\mu...
&+ \Theta(t^\prime-t) e^{i \omega_k (t-t^\prime)} \ _0\la...
&= \dfrac{-2 \pi i}{\omega_{\bm{k}}} e^{-i \omega|t-t^\pr...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $\xi$ は $\bm{k}$ に依存しないことを使い、 $\lam...
そのフーリエ変換は、
<tex>
D^{(0)}_{\mu \nu}(\bm{k},\omega) &= \int_{-\infty}^\infty...
&= \dfrac{4 \pi}{\omega^2-\omega^2_{\bm{k}} + i \delta} \...
\tag{##}
</tex>
ここで $\sum_\lambda \xi_\mu \xi_\nu$ がよく分からないの...
これはベクトルのダイアド積と言います。その性質は何らかの...
<tex>
\xi_\mu \xi_\nu \bm{V} &= | \xi_\mu \rangle \langle \xi_\...
&= (\xi_\nu \cdot \bm{V}_\nu) \xi_\mu
\tag{##}
</tex>
が成立します。さて、単位テンソルは次のようになります。
<tex>
\delta_{\mu \nu} = \hat{x} \hat{x} + \hat{y} \hat{y} + \h...
\tag{##}
</tex>
テンソルは座標系に依らないので、 $\hat{k} = \bm{k}/|\bm{k...
<tex>
\delta_{\mu \nu} = \sum_\lambda \xi_\mu \xi_\nu + \hat{k}...
\tag{##}
</tex>
となります。
これを行列として具体的に考えてみましょう。 $k_1^2 +k_2^2 ...
<tex>
\hat{k} =
\begin{pmatrix}
k_1 \\
k_2 \\
k_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
とします。よって、 $\xi_1$ の $z$ 成分をゼロとおく計算で、
<tex>
\xi_{\lambda=1}
&= \xi_1 \\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}
\begin{pmatrix}
k_2 \\
-k_1 \\
0
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\xi_{\lambda=2}
&= \xi_2 \\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}
\begin{pmatrix}
k_3 k_2 \\
k_3 k_1 \\
-k_1^2 - k_2^2
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
と出来ます。
<tex>
\xi_1 \xi_1 + \xi_2 \xi_2
&=
\dfrac{1}{(\sqrt{k_1^2+k_2^2})^2}
\begin{pmatrix}
k_2 \\
-k_1 \\
0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
k_2 & -k_1 & 0
\end{pmatrix}
+
\dfrac{1}{(\sqrt{k_1^2+k_2^2})^2}
\begin{pmatrix}
k_3 k_2 \\
k_3 k_1 \\
-k_1^2 - k_2^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
k_3 k_2 & k_3 k_1 & -k_1^2 - k_2^2
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{(\sqrt{k_1^2+k_2^2})^2}
\begin{pmatrix}
k_2^2 & - k_1k_2 & 0 \\
- k_1k_2 & k_1^2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\dfrac{1}{(\sqrt{k_1^2+k_2^2})^2}
\begin{pmatrix}
k_3^2 k_2^2 & k_3^2 k_1 k_2 & -k_3 k_1(k_1^2+k_2^2) \\
k_3^2 k_1 k_2 & k_3^2 k_2^2 & -k_3 k_2(k_1^2+k_2^2) \\
-k_3 k_1(k_1^2+k_2^2) & -k_3 k_2(k_1^2+k_2^2) & (k_1^2+k_...
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
k_2^2 + k_3^2 & -k_1 k_2 & -k_1 k_3 \\
-k_2 k_1 & k_3^2 + k_1^2 & -k_2 k_3 \\
-k_3 k_1 & -k_3 k_2 & k_1^2+k_2^2
\end{pmatrix} \\
&= \delta_{\mu \nu} - \hat{k} \hat{k}
\tag{##}
</tex>
となります。一般の場合は、 $\hat{k}$ を軸とした回転行列 $...
話がそれましたが、これで式 $(15)$ が求まりました。 $k = |...
<tex>
D^{(0)}_{\mu \nu}(\bm{k},\omega) = \dfrac{4 \pi[\delta_{\...
\tag{##}
</tex>
です。これをフォトングリーン関数と呼びます。
忘れないで欲しいのは、これは採用するゲージの条件により変...
クーロンゲージの採用により、「フォトン」はベクトルポテン...
フォトンのグリーン関数もまたダイソン方程式に従います。し...
添え字の扱いには気を付ける必要があります。電子のグリーン...
<tex>
G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E) \Sig...
\tag{##}
</tex>
これはスカラー関数でしたから、
<tex>
G(\bm{p},E) &= \dfrac{G^{(0)}(\bm{p},E)}{1 - G^{(0)}(\bm{...
\tag{##}
</tex>
一方、フォトングリーン関数は、
<tex>
D_{\mu \nu} &= D^{(0)}_{\mu \nu} + \sum_{\lambda \delta} ...
\tag{##}
</tex>
を満たします。ここで $\pi_{\delta \lambda}(\bm{k},\omega)...
<tex>
D^{(0)}_{\mu \nu} &= \left( \delta_{\mu \nu} - \dfrac{k_\...
D_{\mu \nu} &= \left( \delta_{\mu \nu} - \dfrac{k_\mu k_\...
\pi_{\mu \nu} &= \delta_{\mu \nu} \pi^{(1)} + \dfrac{k_\m...
\tag{##}
</tex>
と書けます。 $D^{(0)},D,\pi^{(1)},\pi^{(2)}$ はスカラー量...
ここで、行列積部分を抜き出すと、
<tex>
\sum_{\lambda \delta}
&(\delta_{\mu \lambda} - \hat{k}_\mu \hat{k}_\lambda)
(\delta_{\delta \lambda} \pi^{(1)} + \hat{k}_\delta \hat{...
(\delta_{\delta \nu} - \hat{k}_\delta \hat{k}_\nu) \\
&= (\delta_{\mu \nu} - \hat{k}_\mu \hat{k}_\nu)\pi^{(1)}
\tag{##}
</tex>
よって、フォトングリーン関数にはスカラーのダイソン方程式...
<tex>
D &= \dfrac{D^{(0)}}{1-D^{(0)} \pi^{(1)}} \\
D &= \dfrac{4 \pi [\delta_{\mu \nu} - k_\mu k_\nu /k^2]}{...
\tag{##}
</tex>
つまり、フォトン自己エネルギーでは横成分はその縦成分 $\ha...
誘電関数が $\varepsilon$ の一様媒質で、式 $(8)$ のベクト...
<tex>
D_{\mu \nu} = \dfrac{4 \pi [\delta_{\mu \nu} - k_\mu k_\n...
\tag{##}
</tex>
です。これをダイソン方程式に入れて $\varepsilon$ を求める...
<tex>
\varepsilon = 1 - \dfrac{4 \pi}{\omega^2}\pi^{(1)}(\bm{k}...
\tag{##}
</tex>
しかし、これが何らかの結晶だと誘電率はテンソルになり、こ...
結晶中では、
<tex>
\lim_{\bm{k} \to \bm{0}} \varepsilon_{\mu \nu}(\bm{k},\om...
\tag{##}
</tex>
となります。
おまけ
===================
縦とか横とかよく分からなかった方の為に補足しておきます。
ダイアド積、もしくは行列 $k_\mu k_\nu /k^2$ は任意のベク...
<tex>
\dfrac{k_\mu k_\nu}{k^2} V_{\nu} = (\bm{k}/k \cdot \bm{V}...
\tag{##}
</tex>
となります。
これは、ベクトル $\bm{V}$ に含まれる $\bm{k}$ 軸方向の成...
当然、これを $\bm{V}$ から引いた残りのものは横成分となり...
グリーン関数の解釈
=========================
それを踏まえて、グリーン関数 $D_{\mu \nu}$ の意味を考えて...
<tex>
D_{\mu \nu}(\bm{k},t-t^\prime) = -i \sum_\lambda \langle ...
\tag{##}
</tex>
他のグリーン関数とやっていることは基本的には同じです。 $t...
この時、フォトンがベクトルとしての量であるために偏光を持...
この「おまけ」の議論から、恒等演算子を $\hat{I}$ とすると、
<tex>
\hat{I} - \dfrac{| \bm{k} \rangle \langle \bm{k} |}{k^2}
\tag{##}
</tex>
は $\bm{k}$ に直交する二次元空間(偏光面)への射影演算子...
これを $\langle \mu |$ と $| \nu \rangle$ で挟みます。す...
<tex>
&\langle \mu | \hat{I} - \dfrac{| \bm{k} \rangle \langle ...
&= \delta_{\mu \nu} - (k_\mu k_\nu/k^2)
\tag{##}
</tex>
となり、これはまさに $D_{\mu \nu}$ や $D^{(0)}_{\mu \nu}$...
つまり、スカラーだった時のボゾンのグリーン関数 $\dfrac{4 ...
つまり、この式 $(36)$ は何らかの(必ずしも偏光面にはない...
.. image :: chromel-studyGreen07-01.png
ただし、これは等方媒質中の話です。一般には誘電関数 $\vare...
時間順序が逆の場合は、 $t$ と $t^\prime$ 、 $\mu$ と $\nu...
これで一連のグリーン関数の記事は終わりです。お疲れ様でし...
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG...
.. _ダイソン方程式と自己エネルギー: http://hooktail.sub.j...
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-16@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen07@@
終了行:
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グリーン関数を理解しよう(フォトンのグリーン関数)
=========================================================...
これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目...
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針...
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は ダイソン方程式と自己エネルギー_ です。
この記事が最後です。( 目次_ )
ゲージによるクーロン相互作用とフォトン相互作用の分離
==========================================================
この記事ではフォトンのグリーン関数を求めます。
フォトンには偏光の方向があり、少々厄介なので後回しにした...
スピン無しの電磁相互作用のハミルトニアンの非相対論的極限...
<tex>
H = \sum_i \dfrac{1}{2m} \left[ \bm{p}_i - \dfrac{e_i}{c}...
\tag{##}
</tex>
となります。以下では $\mu$ や $\nu$ は $1,2,3$ もしくは $...
ベクトルポテンシャル $A$ は、
<tex>
\dfrac{1}{c} A_\mu &= \dfrac{1}{\sqrt{v}} \sum_{\bm{k} \l...
A_\mu(\bm{k},\lambda,t) &= \left( \dfrac{2 \pi}{\omega_{\...
(a_{\bm{k} \lambda} e^{-i\omega_k t}+a^\dagger_{-\bm{k} \...
\tag{##}
</tex>
となります。生成消滅演算子 $a^\dagger_{\bm{k} \lambda},a_...
<tex>
\psi_0(r) = \dfrac{e^2}{r}
\tag{##}
</tex>
はグリーン関数
<tex>
v_q = \dfrac{4 \pi e^2}{q^2}
\tag{##}
</tex>
を持ちます。この相互作用は今回の話では瞬間的に伝わる(遠隔...
このグリーン関数は既に ウィックの定理_ で出てきています。
実際これは縦方向(波数ベクトルの方向)ポテンシャルのグリー...
この瞬間に伝わる性質から、周波数依存性はありません。
ファノン相互作用で相互作用する二つの電子はフォノングリー...
<tex>
|M_{\bm{q}}|^2 D^{(0)}(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>
で表されました。これに対応して、電子電子相互作用では、 $\...
<tex>
v_q(\omega) = \dfrac{v_q}{1 - v_q P(\bm{q},\omega)}
\tag{##}
</tex>
因子 $P(\bm{q},\omega)$ は自己エネルギー、もしく偏極演算...
等方的な誘電率 $\varepsilon$ を持った一様媒質中のマクスウ...
<tex>
\nabla \cdot \bm{B} &= \bm{0} \\
\nabla \times \bm{E} &= \bm{0} \\
\varepsilon \nabla \cdot \bm{E} &= 4 \pi \rho \\
\nabla \times \bm{B} &= \dfrac{\varepsilon}{c} \dfrac{\pa...
\tag{##}
</tex>
これらを解くと、ポテンシャルを使って次の様に表せます。
<tex>
\psi(\bm{r}) &= \dfrac{1}{\varepsilon} \int \dfrac{d^3 r^...
\nabla^2 \bm{A} - \dfrac{\varepsilon}{c^2} \dfrac{\partia...
\tag{##}
</tex>
最初の式を電荷密度を点電荷 $\rho(\bm{r}^\prime) = \delta(...
<tex>
\bar{v}_q = \dfrac{v_q}{\varepsilon}
\tag{##}
</tex>
となります。これを式 $(6)$ と式 $(9)$ と比較することで、
<tex>
\varepsilon(\bm{q},\omega) = 1 - v_q P(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>
ここでは $\bm{q},\omega$ 依存性を含むように一般化しました。
この式は縦方向誘電関数の定義式になります。
クーロンポテンシャルの自己エネルギー部分から求まるのです。
フォトンの相互作用の形
==========================
ここで非摂動の相互作用 $V$ の形を求めておきましょう。フォ...
<tex>
\dfrac{e}{c}\sum_i \bm{j}(\bm{r}_i) \cdot \bm{A}(\bm{r}_i)
&= \dfrac{e}{c} \sum_{\bm{q} \mu} j_\mu(\bm{q}) A_\mu(\bm...
&= \dfrac{e}{mc} \sum_{\bm{q} \mu} A_\mu(\bm{q}) \sum_{\b...
\tag{##}
</tex>
と
<tex>
\dfrac{e^2}{2mc^2}\sum_i \bm{A}(\bm{r}_i)^2
&= \dfrac{e^2}{2m} \sum_{\bm{q} \bm{k} \mu} \rho(\bm{q}) ...
\tag{##}
</tex>
です。 $\rho$ は荷電粒子密度です。
フォトンのグリーン関数
==========================
ベクトルポテンシャルのグリーン関数(フォトンのグリーン関...
<tex>
D_{\mu \nu}(\bm{k},t-t^\prime) = -i \sum_\lambda \langle ...
\tag{##}
</tex>
となります。 $\lambda$ の和は光子の横方向(波数ベクトル $...
<tex>
D^{(0)}_{\mu \nu}(\bm{k},t-t^\prime) &= \dfrac{-2 \pi i}{...
&\times [(a_{-\bm{k} \lambda} e^{-i\omega_k t^\prime}+a^\...
&= \dfrac{-2 \pi i}{\omega_{\bm{k}}} \sum_\lambda \xi_\mu...
&+ \Theta(t^\prime-t) e^{i \omega_k (t-t^\prime)} \ _0\la...
&= \dfrac{-2 \pi i}{\omega_{\bm{k}}} e^{-i \omega|t-t^\pr...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $\xi$ は $\bm{k}$ に依存しないことを使い、 $\lam...
そのフーリエ変換は、
<tex>
D^{(0)}_{\mu \nu}(\bm{k},\omega) &= \int_{-\infty}^\infty...
&= \dfrac{4 \pi}{\omega^2-\omega^2_{\bm{k}} + i \delta} \...
\tag{##}
</tex>
ここで $\sum_\lambda \xi_\mu \xi_\nu$ がよく分からないの...
これはベクトルのダイアド積と言います。その性質は何らかの...
<tex>
\xi_\mu \xi_\nu \bm{V} &= | \xi_\mu \rangle \langle \xi_\...
&= (\xi_\nu \cdot \bm{V}_\nu) \xi_\mu
\tag{##}
</tex>
が成立します。さて、単位テンソルは次のようになります。
<tex>
\delta_{\mu \nu} = \hat{x} \hat{x} + \hat{y} \hat{y} + \h...
\tag{##}
</tex>
テンソルは座標系に依らないので、 $\hat{k} = \bm{k}/|\bm{k...
<tex>
\delta_{\mu \nu} = \sum_\lambda \xi_\mu \xi_\nu + \hat{k}...
\tag{##}
</tex>
となります。
これを行列として具体的に考えてみましょう。 $k_1^2 +k_2^2 ...
<tex>
\hat{k} =
\begin{pmatrix}
k_1 \\
k_2 \\
k_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
とします。よって、 $\xi_1$ の $z$ 成分をゼロとおく計算で、
<tex>
\xi_{\lambda=1}
&= \xi_1 \\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}
\begin{pmatrix}
k_2 \\
-k_1 \\
0
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\xi_{\lambda=2}
&= \xi_2 \\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}
\begin{pmatrix}
k_3 k_2 \\
k_3 k_1 \\
-k_1^2 - k_2^2
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
と出来ます。
<tex>
\xi_1 \xi_1 + \xi_2 \xi_2
&=
\dfrac{1}{(\sqrt{k_1^2+k_2^2})^2}
\begin{pmatrix}
k_2 \\
-k_1 \\
0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
k_2 & -k_1 & 0
\end{pmatrix}
+
\dfrac{1}{(\sqrt{k_1^2+k_2^2})^2}
\begin{pmatrix}
k_3 k_2 \\
k_3 k_1 \\
-k_1^2 - k_2^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
k_3 k_2 & k_3 k_1 & -k_1^2 - k_2^2
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{(\sqrt{k_1^2+k_2^2})^2}
\begin{pmatrix}
k_2^2 & - k_1k_2 & 0 \\
- k_1k_2 & k_1^2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\dfrac{1}{(\sqrt{k_1^2+k_2^2})^2}
\begin{pmatrix}
k_3^2 k_2^2 & k_3^2 k_1 k_2 & -k_3 k_1(k_1^2+k_2^2) \\
k_3^2 k_1 k_2 & k_3^2 k_2^2 & -k_3 k_2(k_1^2+k_2^2) \\
-k_3 k_1(k_1^2+k_2^2) & -k_3 k_2(k_1^2+k_2^2) & (k_1^2+k_...
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
k_2^2 + k_3^2 & -k_1 k_2 & -k_1 k_3 \\
-k_2 k_1 & k_3^2 + k_1^2 & -k_2 k_3 \\
-k_3 k_1 & -k_3 k_2 & k_1^2+k_2^2
\end{pmatrix} \\
&= \delta_{\mu \nu} - \hat{k} \hat{k}
\tag{##}
</tex>
となります。一般の場合は、 $\hat{k}$ を軸とした回転行列 $...
話がそれましたが、これで式 $(15)$ が求まりました。 $k = |...
<tex>
D^{(0)}_{\mu \nu}(\bm{k},\omega) = \dfrac{4 \pi[\delta_{\...
\tag{##}
</tex>
です。これをフォトングリーン関数と呼びます。
忘れないで欲しいのは、これは採用するゲージの条件により変...
クーロンゲージの採用により、「フォトン」はベクトルポテン...
フォトンのグリーン関数もまたダイソン方程式に従います。し...
添え字の扱いには気を付ける必要があります。電子のグリーン...
<tex>
G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E) \Sig...
\tag{##}
</tex>
これはスカラー関数でしたから、
<tex>
G(\bm{p},E) &= \dfrac{G^{(0)}(\bm{p},E)}{1 - G^{(0)}(\bm{...
\tag{##}
</tex>
一方、フォトングリーン関数は、
<tex>
D_{\mu \nu} &= D^{(0)}_{\mu \nu} + \sum_{\lambda \delta} ...
\tag{##}
</tex>
を満たします。ここで $\pi_{\delta \lambda}(\bm{k},\omega)...
<tex>
D^{(0)}_{\mu \nu} &= \left( \delta_{\mu \nu} - \dfrac{k_\...
D_{\mu \nu} &= \left( \delta_{\mu \nu} - \dfrac{k_\mu k_\...
\pi_{\mu \nu} &= \delta_{\mu \nu} \pi^{(1)} + \dfrac{k_\m...
\tag{##}
</tex>
と書けます。 $D^{(0)},D,\pi^{(1)},\pi^{(2)}$ はスカラー量...
ここで、行列積部分を抜き出すと、
<tex>
\sum_{\lambda \delta}
&(\delta_{\mu \lambda} - \hat{k}_\mu \hat{k}_\lambda)
(\delta_{\delta \lambda} \pi^{(1)} + \hat{k}_\delta \hat{...
(\delta_{\delta \nu} - \hat{k}_\delta \hat{k}_\nu) \\
&= (\delta_{\mu \nu} - \hat{k}_\mu \hat{k}_\nu)\pi^{(1)}
\tag{##}
</tex>
よって、フォトングリーン関数にはスカラーのダイソン方程式...
<tex>
D &= \dfrac{D^{(0)}}{1-D^{(0)} \pi^{(1)}} \\
D &= \dfrac{4 \pi [\delta_{\mu \nu} - k_\mu k_\nu /k^2]}{...
\tag{##}
</tex>
つまり、フォトン自己エネルギーでは横成分はその縦成分 $\ha...
誘電関数が $\varepsilon$ の一様媒質で、式 $(8)$ のベクト...
<tex>
D_{\mu \nu} = \dfrac{4 \pi [\delta_{\mu \nu} - k_\mu k_\n...
\tag{##}
</tex>
です。これをダイソン方程式に入れて $\varepsilon$ を求める...
<tex>
\varepsilon = 1 - \dfrac{4 \pi}{\omega^2}\pi^{(1)}(\bm{k}...
\tag{##}
</tex>
しかし、これが何らかの結晶だと誘電率はテンソルになり、こ...
結晶中では、
<tex>
\lim_{\bm{k} \to \bm{0}} \varepsilon_{\mu \nu}(\bm{k},\om...
\tag{##}
</tex>
となります。
おまけ
===================
縦とか横とかよく分からなかった方の為に補足しておきます。
ダイアド積、もしくは行列 $k_\mu k_\nu /k^2$ は任意のベク...
<tex>
\dfrac{k_\mu k_\nu}{k^2} V_{\nu} = (\bm{k}/k \cdot \bm{V}...
\tag{##}
</tex>
となります。
これは、ベクトル $\bm{V}$ に含まれる $\bm{k}$ 軸方向の成...
当然、これを $\bm{V}$ から引いた残りのものは横成分となり...
グリーン関数の解釈
=========================
それを踏まえて、グリーン関数 $D_{\mu \nu}$ の意味を考えて...
<tex>
D_{\mu \nu}(\bm{k},t-t^\prime) = -i \sum_\lambda \langle ...
\tag{##}
</tex>
他のグリーン関数とやっていることは基本的には同じです。 $t...
この時、フォトンがベクトルとしての量であるために偏光を持...
この「おまけ」の議論から、恒等演算子を $\hat{I}$ とすると、
<tex>
\hat{I} - \dfrac{| \bm{k} \rangle \langle \bm{k} |}{k^2}
\tag{##}
</tex>
は $\bm{k}$ に直交する二次元空間(偏光面)への射影演算子...
これを $\langle \mu |$ と $| \nu \rangle$ で挟みます。す...
<tex>
&\langle \mu | \hat{I} - \dfrac{| \bm{k} \rangle \langle ...
&= \delta_{\mu \nu} - (k_\mu k_\nu/k^2)
\tag{##}
</tex>
となり、これはまさに $D_{\mu \nu}$ や $D^{(0)}_{\mu \nu}$...
つまり、スカラーだった時のボゾンのグリーン関数 $\dfrac{4 ...
つまり、この式 $(36)$ は何らかの(必ずしも偏光面にはない...
.. image :: chromel-studyGreen07-01.png
ただし、これは等方媒質中の話です。一般には誘電関数 $\vare...
時間順序が逆の場合は、 $t$ と $t^\prime$ 、 $\mu$ と $\nu...
これで一連のグリーン関数の記事は終わりです。お疲れ様でし...
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyG...
.. _ダイソン方程式と自己エネルギー: http://hooktail.sub.j...
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third ...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-16@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen07@@
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