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#rst2hooktail_source
=========================================================...
クーロンポテンシャルのフーリエ変換
=========================================================...
結構、有名な積分だと思います。
ときどき解法を忘れてしまうので、自分用にメモです。
問題の積分は、
<tex>
I &= \int \dfrac{e^{-i\bm{k} \ \cdot \ \bm{r}}}{|\bm{r}...
&= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\...
{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \ dxdydz \tag{##}
</tex>
式 $(1)$ の第二行を見るとなんとも物騒な積分ですが、この積...
<tex>
x = r \sin \theta \cos \phi \\
y = r \sin \theta \sin \phi \\
z = r \cos \theta
</tex>
ちなみに $|\bm{r}|=r$ です。一応初めての方もいらっしゃる...
この変換のヤコビアン(ヤコビの行列式:積分の微小体積要素...
<tex>
dx dy dz &=
\begin{vmatrix}
\dfrac{dx}{dr} & \dfrac{dx}{d\theta} & \dfrac{dx}{d \phi}...
\dfrac{dy}{dr} & \dfrac{dy}{d\theta} & \dfrac{dy}{d \phi}...
\dfrac{dz}{dr} & \dfrac{dz}{d\theta} & \dfrac{dz}{d \phi}...
\end{vmatrix} dr d \theta d \phi\\
&=
\begin{vmatrix}
\sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & - r \si...
\sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin ...
\cos \theta & - r \sin \theta & 0
\end{vmatrix} dr d \theta d \phi \\
&=
(r^2 \sin^3 \theta \cos^2 \phi + r^2 \cos^2 \theta \sin \...
&+ r^2 \sin^3 \theta \sin^2 \phi + r^2 \cos^2 \theta \sin...
&= (r^2 \sin^3 \theta + r^2 \cos^2 \sin \theta ) dr d \th...
&= r^2 \sin \theta dr d \theta d \phi \tag{##}
</tex>
です。よって、 $\bm{k}$ と $\bm{r}$ が $\theta$ の角を成...
うまく座標系の取り方を工夫して、 $\bm{r}$ を $z$ 方向を向...
<tex>
I &= \int \dfrac{e^{-i\bm{k} \ \cdot \ \bm{r}}}{|\bm{r}...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{\pi} d \theta \int_0^{2\pi}...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $\cos \theta = t$ , $ - \sin \theta d \theta = d...
<tex>
I &= \int \dfrac{e^{-i\bm{k} \ \cdot \ \bm{r}}}{|\bm{r}...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \left( \int_{-...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \left[ r \frac...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \left[ \frac{e...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \dfrac{1}{ik} ...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \dfrac{2}{k} \...
</tex>
ここでいかにも物理(not数学的な意味で)らしい手法を
用います。 $\lim_{\delta \to 0 }e^{- \delta r} (= 1) $ を...
すると、無限遠での値が収束し、
<tex>
I &= \lim_{\delta \to 0} \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi...
&= \int_0^{2 \pi} d \phi \dfrac{1}{ik} \lim_{\delta \to 0...
- \dfrac{e^{(-ik-\delta)r}}{-ik-\delta} \right]_{0}^{\inf...
&= \int_0^{2 \pi} d \phi \dfrac{1}{ik} \lim_{\delta \to 0...
+ \dfrac{ 0-1 }{ik+\delta} \right] \\
&= \int_0^{2 \pi} d \phi \dfrac{1}{ik} \left( \dfrac{-2}{...
&= \int_0^{2 \pi} d \phi \dfrac{2}{k^2} \\
&= \dfrac{4 \pi}{k^2}
\tag{##}
</tex>
となります。よって、
<tex>
\int \dfrac{e^{-i\bm{k} \ \cdot \ \bm{r}}}{|\bm{r}|} d ...
</tex>
が言えました。
それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-06-14@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:coulombFourier@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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クーロンポテンシャルのフーリエ変換
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結構、有名な積分だと思います。
ときどき解法を忘れてしまうので、自分用にメモです。
問題の積分は、
<tex>
I &= \int \dfrac{e^{-i\bm{k} \ \cdot \ \bm{r}}}{|\bm{r}...
&= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\...
{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \ dxdydz \tag{##}
</tex>
式 $(1)$ の第二行を見るとなんとも物騒な積分ですが、この積...
<tex>
x = r \sin \theta \cos \phi \\
y = r \sin \theta \sin \phi \\
z = r \cos \theta
</tex>
ちなみに $|\bm{r}|=r$ です。一応初めての方もいらっしゃる...
この変換のヤコビアン(ヤコビの行列式:積分の微小体積要素...
<tex>
dx dy dz &=
\begin{vmatrix}
\dfrac{dx}{dr} & \dfrac{dx}{d\theta} & \dfrac{dx}{d \phi}...
\dfrac{dy}{dr} & \dfrac{dy}{d\theta} & \dfrac{dy}{d \phi}...
\dfrac{dz}{dr} & \dfrac{dz}{d\theta} & \dfrac{dz}{d \phi}...
\end{vmatrix} dr d \theta d \phi\\
&=
\begin{vmatrix}
\sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & - r \si...
\sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin ...
\cos \theta & - r \sin \theta & 0
\end{vmatrix} dr d \theta d \phi \\
&=
(r^2 \sin^3 \theta \cos^2 \phi + r^2 \cos^2 \theta \sin \...
&+ r^2 \sin^3 \theta \sin^2 \phi + r^2 \cos^2 \theta \sin...
&= (r^2 \sin^3 \theta + r^2 \cos^2 \sin \theta ) dr d \th...
&= r^2 \sin \theta dr d \theta d \phi \tag{##}
</tex>
です。よって、 $\bm{k}$ と $\bm{r}$ が $\theta$ の角を成...
うまく座標系の取り方を工夫して、 $\bm{r}$ を $z$ 方向を向...
<tex>
I &= \int \dfrac{e^{-i\bm{k} \ \cdot \ \bm{r}}}{|\bm{r}...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{\pi} d \theta \int_0^{2\pi}...
\tag{##}
</tex>
ここで、 $\cos \theta = t$ , $ - \sin \theta d \theta = d...
<tex>
I &= \int \dfrac{e^{-i\bm{k} \ \cdot \ \bm{r}}}{|\bm{r}...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \left( \int_{-...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \left[ r \frac...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \left[ \frac{e...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \dfrac{1}{ik} ...
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi}d \phi \dfrac{2}{k} \...
</tex>
ここでいかにも物理(not数学的な意味で)らしい手法を
用います。 $\lim_{\delta \to 0 }e^{- \delta r} (= 1) $ を...
すると、無限遠での値が収束し、
<tex>
I &= \lim_{\delta \to 0} \int_{0}^\infty dr \int_0^{2\pi...
&= \int_0^{2 \pi} d \phi \dfrac{1}{ik} \lim_{\delta \to 0...
- \dfrac{e^{(-ik-\delta)r}}{-ik-\delta} \right]_{0}^{\inf...
&= \int_0^{2 \pi} d \phi \dfrac{1}{ik} \lim_{\delta \to 0...
+ \dfrac{ 0-1 }{ik+\delta} \right] \\
&= \int_0^{2 \pi} d \phi \dfrac{1}{ik} \left( \dfrac{-2}{...
&= \int_0^{2 \pi} d \phi \dfrac{2}{k^2} \\
&= \dfrac{4 \pi}{k^2}
\tag{##}
</tex>
となります。よって、
<tex>
\int \dfrac{e^{-i\bm{k} \ \cdot \ \bm{r}}}{|\bm{r}|} d ...
</tex>
が言えました。
それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-06-14@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:coulombFourier@@
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