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ガロア群の例
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ガロア群の定義はそれほど難しくありませんでしたが、ガロア...
実は、ガロア群の元は体によって簡単に決まる場合もあれば、...
まず、体の自己同型写像の定義を復習しましょう。
<tex>
\phi (\alpha + \beta )=\phi (\alpha )+\phi (\beta ) \tag{1}
</tex>
<tex>
\phi (\alpha \beta )=\phi (\alpha )\phi (\beta ) \tag{2}
</tex>
有理数体 $Q$ を $Q$ に写す自己同型写像には、恒等写像しか...
.. important::
有理数体 $Q$ を $Q$ に移す自己同型写像には恒等写像しかあ...
例1(二次拡大体)
------------------------------------------
最初に、 $Q$ の二次拡大体の例として $Q(\sqrt{2})$ のガロ...
まず、明らかに恒等写像 $I$ は自己同型写像で、 $\cal G \it...
<tex>
I: \ a + b\sqrt{2} \ \longmapsto \ a+b\sqrt{2}
</tex>
これは自明な元です。実は、もう一つそれほど明らかではない...
<tex>
J: \ a + b\sqrt{2} \ \longmapsto \ a-b\sqrt{2}
</tex>
この写像 $J$ が確かに自己同型写像の定義を満たすことを確認...
<tex>
J((a + b\sqrt{2})+(c + d\sqrt{2})) &=J((a +c) + (b+d)\sqr...
&= (a +c) - (b+d)\sqrt{2} \\
&= (a-b\sqrt{2})+(c-d\sqrt{2}) \\
&= J(a+b\sqrt{2})+J(c+d\sqrt{2})
</tex>
<tex>
J((a + b\sqrt{2})\cdot (c + d\sqrt{2})) &=J((ac+2bd)+(ad+...
&= (ac+2bd) - (ad+bc)\sqrt{2} \\
&= (a-b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2}) \\
&= J(a+b\sqrt{2})J(c+d\sqrt{2})
</tex>
確かに $J$ も自己同型写像の定義 $(1)(2)$ を満たすことが分...
また、 $I$ も $J$ も $a+b\sqrt{2}$ の形の元の有理数部分、...
.. [*] のちほど、ガロア理論の応用として、定規とコンパスで...
例2
-------------------------------------------------
もう一つ、 $Q$ の拡大体 $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ を考えてみ...
二つの $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の元の積を考えて、恒等写像...
<tex>
(a_{1}+b_{1}\sqrt{2}+c_{1}\sqrt{3}+d_{1}\sqrt{6})
(a_{2}+b_{2}\sqrt{2}+c_{2}\sqrt{3}+d_{2}\sqrt{6})
&= (a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2}+3c_{1}c_{2}+6d_{1}d_{2}) \\
& \ \ +(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+3c_{1}d_{2}+3d_{1}c_{2})\sq...
& \ \ +(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}+2b_{1}d_{2}+2d_{1}b_{2})\sq...
& \ \ +(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\sqrt...
</tex>
じっと両辺を見ていると、まず左辺の $b$ と $d$ の符号を $+...
<tex>
K: \ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} \ \longmapsto \ a-b\...
</tex>
よって、 $K$ は式 $(2)$ を満たしています。 $K$ が式 $(1)$...
有理数の部分 $a$ を不変に保つ自己同型写像(つまり $Q$ を...
.. csv-table::
:header: "", "I", "K","L","M"
"I", "I" , "K" ,"L","M"
"K", "K" , "I","M","L"
"L", "L" , "M","I","K"
"M", "M", "L","K","I"
これより、ガロア群 $\cal G \it (Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})/Q)=...
.. [*] 具体的に自己同型写像を探すしかないと書きましたが、...
補足
^^^^^^^^^^^^^
例2に出てきた $I,M$ の二つは、 $Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ...
これは少し考えてみればもっともなことです。ガロア群は、二...
.. image:: Joh-GaloisMapDiam.gif
矢印の横には、ガロア群の元や位数など、追加情報を書き込み...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
有理数体 $Q$ の拡大体 $Q(\root 4\of {2} , i)$ を考えてみ...
まずガロア群 $\cal G \it (Q(\root 4\of {2}) , i/Q)$ を求...
例題1,2と同じように考えますが、 $i$ を基底とする項を $...
.. [*] $i$ は二乗すると有理数、 $\root 4\of {2}$ は四乗...
これらの写像の組合わせは次表のようになります。 $e,\sigma ...
.. csv-table::
:header: "自己同型写像", " $\phi(\root 4\of {2})$ ", "...
" ${\phi}_{1}=e$ ", " $\root 4\of {2}$ " , " $i$ "
" ${\phi}_{2}=\sigma$ ", " $i\root 4\of {2}$ " , " $i...
" ${\phi}_{3}={\sigma}^{2}$ ", " $-\root 4\of {2}$ " ...
" ${\phi}_{4}={\sigma}^{3}$ ", " $-i\root 4\of {2}$ "...
" ${\phi}_{5}=\tau$ ", " $\root 4\of {2}$ " , " $-i$ "
" ${\phi}_{6}=\sigma \tau$ ", " $i\root 4\of {2}$ " ,...
" ${\phi}_{7}={\sigma}^{2}\tau$ ", " $-\root 4\of {2}...
" ${\phi}_{8}={\sigma}^{3}\tau$ ", " $-i\root 4\of {2...
ガロア群 $\cal G \it (Q(\root 4\of {2} , i)/Q)=\{ e,\sigm...
さて、 $\cal G \it (Q(\root 4\of {2} , i)/Q)$ の元で、 $\...
<tex>
\sigma \tau (\xi) = a_{1}+a_{2}i\root 4\of {2}-a_{3}\root...
</tex>
係数を見比べて、 $\sigma \tau (\xi) = \xi$ を満たすために...
<tex>
b_{1}+b_{2}(1+i)\root 4\of {2}+a_{4}(1-i)\root 4\of {2^{3...
</tex>
すこし技巧的ですが、これを次のように書き換えることも出来...
<tex>
b_{1}+b_{2}(1+i)\root 4\of {2}+\frac{1}{2}a_{7}(1+i)^{2}\...
</tex>
これより、 $\{ e,\sigma \tau \} $ の固定体は $Q((1+i)\roo...
.. [*] ちなみに、 $\{ e,\sigma \tau \} $ は $\cal G \it ...
.. _クラインの四元群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
.. _体の自己同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: GaloisGroupEx@@
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#rst2hooktail_source
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ガロア群の例
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ガロア群の定義はそれほど難しくありませんでしたが、ガロア...
実は、ガロア群の元は体によって簡単に決まる場合もあれば、...
まず、体の自己同型写像の定義を復習しましょう。
<tex>
\phi (\alpha + \beta )=\phi (\alpha )+\phi (\beta ) \tag{1}
</tex>
<tex>
\phi (\alpha \beta )=\phi (\alpha )\phi (\beta ) \tag{2}
</tex>
有理数体 $Q$ を $Q$ に写す自己同型写像には、恒等写像しか...
.. important::
有理数体 $Q$ を $Q$ に移す自己同型写像には恒等写像しかあ...
例1(二次拡大体)
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最初に、 $Q$ の二次拡大体の例として $Q(\sqrt{2})$ のガロ...
まず、明らかに恒等写像 $I$ は自己同型写像で、 $\cal G \it...
<tex>
I: \ a + b\sqrt{2} \ \longmapsto \ a+b\sqrt{2}
</tex>
これは自明な元です。実は、もう一つそれほど明らかではない...
<tex>
J: \ a + b\sqrt{2} \ \longmapsto \ a-b\sqrt{2}
</tex>
この写像 $J$ が確かに自己同型写像の定義を満たすことを確認...
<tex>
J((a + b\sqrt{2})+(c + d\sqrt{2})) &=J((a +c) + (b+d)\sqr...
&= (a +c) - (b+d)\sqrt{2} \\
&= (a-b\sqrt{2})+(c-d\sqrt{2}) \\
&= J(a+b\sqrt{2})+J(c+d\sqrt{2})
</tex>
<tex>
J((a + b\sqrt{2})\cdot (c + d\sqrt{2})) &=J((ac+2bd)+(ad+...
&= (ac+2bd) - (ad+bc)\sqrt{2} \\
&= (a-b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2}) \\
&= J(a+b\sqrt{2})J(c+d\sqrt{2})
</tex>
確かに $J$ も自己同型写像の定義 $(1)(2)$ を満たすことが分...
また、 $I$ も $J$ も $a+b\sqrt{2}$ の形の元の有理数部分、...
.. [*] のちほど、ガロア理論の応用として、定規とコンパスで...
例2
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もう一つ、 $Q$ の拡大体 $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ を考えてみ...
二つの $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の元の積を考えて、恒等写像...
<tex>
(a_{1}+b_{1}\sqrt{2}+c_{1}\sqrt{3}+d_{1}\sqrt{6})
(a_{2}+b_{2}\sqrt{2}+c_{2}\sqrt{3}+d_{2}\sqrt{6})
&= (a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2}+3c_{1}c_{2}+6d_{1}d_{2}) \\
& \ \ +(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+3c_{1}d_{2}+3d_{1}c_{2})\sq...
& \ \ +(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}+2b_{1}d_{2}+2d_{1}b_{2})\sq...
& \ \ +(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\sqrt...
</tex>
じっと両辺を見ていると、まず左辺の $b$ と $d$ の符号を $+...
<tex>
K: \ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} \ \longmapsto \ a-b\...
</tex>
よって、 $K$ は式 $(2)$ を満たしています。 $K$ が式 $(1)$...
有理数の部分 $a$ を不変に保つ自己同型写像(つまり $Q$ を...
.. csv-table::
:header: "", "I", "K","L","M"
"I", "I" , "K" ,"L","M"
"K", "K" , "I","M","L"
"L", "L" , "M","I","K"
"M", "M", "L","K","I"
これより、ガロア群 $\cal G \it (Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})/Q)=...
.. [*] 具体的に自己同型写像を探すしかないと書きましたが、...
補足
^^^^^^^^^^^^^
例2に出てきた $I,M$ の二つは、 $Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ...
これは少し考えてみればもっともなことです。ガロア群は、二...
.. image:: Joh-GaloisMapDiam.gif
矢印の横には、ガロア群の元や位数など、追加情報を書き込み...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
有理数体 $Q$ の拡大体 $Q(\root 4\of {2} , i)$ を考えてみ...
まずガロア群 $\cal G \it (Q(\root 4\of {2}) , i/Q)$ を求...
例題1,2と同じように考えますが、 $i$ を基底とする項を $...
.. [*] $i$ は二乗すると有理数、 $\root 4\of {2}$ は四乗...
これらの写像の組合わせは次表のようになります。 $e,\sigma ...
.. csv-table::
:header: "自己同型写像", " $\phi(\root 4\of {2})$ ", "...
" ${\phi}_{1}=e$ ", " $\root 4\of {2}$ " , " $i$ "
" ${\phi}_{2}=\sigma$ ", " $i\root 4\of {2}$ " , " $i...
" ${\phi}_{3}={\sigma}^{2}$ ", " $-\root 4\of {2}$ " ...
" ${\phi}_{4}={\sigma}^{3}$ ", " $-i\root 4\of {2}$ "...
" ${\phi}_{5}=\tau$ ", " $\root 4\of {2}$ " , " $-i$ "
" ${\phi}_{6}=\sigma \tau$ ", " $i\root 4\of {2}$ " ,...
" ${\phi}_{7}={\sigma}^{2}\tau$ ", " $-\root 4\of {2}...
" ${\phi}_{8}={\sigma}^{3}\tau$ ", " $-i\root 4\of {2...
ガロア群 $\cal G \it (Q(\root 4\of {2} , i)/Q)=\{ e,\sigm...
さて、 $\cal G \it (Q(\root 4\of {2} , i)/Q)$ の元で、 $\...
<tex>
\sigma \tau (\xi) = a_{1}+a_{2}i\root 4\of {2}-a_{3}\root...
</tex>
係数を見比べて、 $\sigma \tau (\xi) = \xi$ を満たすために...
<tex>
b_{1}+b_{2}(1+i)\root 4\of {2}+a_{4}(1-i)\root 4\of {2^{3...
</tex>
すこし技巧的ですが、これを次のように書き換えることも出来...
<tex>
b_{1}+b_{2}(1+i)\root 4\of {2}+\frac{1}{2}a_{7}(1+i)^{2}\...
</tex>
これより、 $\{ e,\sigma \tau \} $ の固定体は $Q((1+i)\roo...
.. [*] ちなみに、 $\{ e,\sigma \tau \} $ は $\cal G \it ...
.. _クラインの四元群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
.. _体の自己同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: GaloisGroupEx@@
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