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#rst2hooktail_source
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オイラーの公式
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さりげなく多用されているオイラーの公式は,複素数と実数の...
オイラーの公式はつぎの形をしています.
.. _eq1:
<tex>
e^{iax}=\cos(ax)+i\sin(ax) \tag{1}
</tex>
ここで, $i$ は虚数単位, $a$ は定数, $x$ は変数です.
この公式は知らないととても困る上に恥ずかしいので,憶えて...
導いてみる
-------------
$e^{iax}$ をべき級数展開するとつぎのようになります.
.. _eq2:
<tex>
e^{iax} &= 1+\frac{i(ax)}{1!}-\frac{(ax)^2}{2!}-\frac{i(a...
+\frac{(ax)^4}{4!}+\frac{i(ax)^5}{5!}-\frac{(a...
&= \left(1-\frac{(ax)^2}{2!}+ \frac{(ax)^4}{4!}-\...
+i\left(\frac{(ax)}{1!}-\frac{(ax)^3}{3!}+\fra...
</tex>
とりあえず $e^{iax}$ はこういうふうに展開できるのだと思っ...
虚数単位 $i$ が入っているので, $i$ で括っています.
$i$ でくくった方が虚数部分,もう一方が実数部分です.
`式(2)`_ と `式(1)`_ のオイラーの公式を比べて見ると,実数...
虚数部分が $\sin(ax)$ なんでしょ,という気持ちになってき...
その通りで $\cos(ax)\, , \sin(ax)$ のべき級数はそれぞれつ...
.. _eq3:
<tex>
\cos(ax) = 1-\frac{ax^2}{2!}+\frac{ax^4}{4!}-\frac{ax^6}{...
</tex>
.. _eq4:
<tex>
\sin(ax) = \frac{ax}{1!}-\frac{ax^3}{3!}+\frac{ax^5}{5!}-...
</tex>
`式(3)`_ と `式(4)`_ を `式(2)`_ に代入すると,オイラーの...
<tex>
e^{iax} = \cos(ax)+i\sin(ax)
</tex>
が得られます.なんだかだまされたような感じですが,とりあ...
使いみち
-------------
「 $e$ の肩に虚数単位 $i$ が乗っていたら, $\sin$ と $\co...
ということを肝に命じておきましょう. $i$ に負号がついて $...
$sin\, , \cos$ で表したときの $i$ の符号が変わるだけです.
<tex>
e^{iax} &= \cos(ax)+i\sin(ax)\\
e^{-iax} &= \cos(ax)-i\sin(ax)
</tex>
また,上の2つの式を足し合わせると普通の $\sin\, , \cos$ を
$e$ を使って表すことができます.
$e^{iax}+e^{-iax}=2\cos(ax)$ より $\cos(ax)=\frac{e^{iax}...
$e^{iax}-e^{-iax}=2i\sin(ax)$ より $\sin(ax)=\frac{e^{iax...
この関係も活躍するので憶えておくといいですね.
.. _式(1): #eq1
.. _式(2): #eq2
.. _式(3): #eq3
.. _式(4): #eq4
@@author:崎間@@
@@accept:2004-05-10@@
@@category:物理数学@@
@@id:euler@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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オイラーの公式
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さりげなく多用されているオイラーの公式は,複素数と実数の...
オイラーの公式はつぎの形をしています.
.. _eq1:
<tex>
e^{iax}=\cos(ax)+i\sin(ax) \tag{1}
</tex>
ここで, $i$ は虚数単位, $a$ は定数, $x$ は変数です.
この公式は知らないととても困る上に恥ずかしいので,憶えて...
導いてみる
-------------
$e^{iax}$ をべき級数展開するとつぎのようになります.
.. _eq2:
<tex>
e^{iax} &= 1+\frac{i(ax)}{1!}-\frac{(ax)^2}{2!}-\frac{i(a...
+\frac{(ax)^4}{4!}+\frac{i(ax)^5}{5!}-\frac{(a...
&= \left(1-\frac{(ax)^2}{2!}+ \frac{(ax)^4}{4!}-\...
+i\left(\frac{(ax)}{1!}-\frac{(ax)^3}{3!}+\fra...
</tex>
とりあえず $e^{iax}$ はこういうふうに展開できるのだと思っ...
虚数単位 $i$ が入っているので, $i$ で括っています.
$i$ でくくった方が虚数部分,もう一方が実数部分です.
`式(2)`_ と `式(1)`_ のオイラーの公式を比べて見ると,実数...
虚数部分が $\sin(ax)$ なんでしょ,という気持ちになってき...
その通りで $\cos(ax)\, , \sin(ax)$ のべき級数はそれぞれつ...
.. _eq3:
<tex>
\cos(ax) = 1-\frac{ax^2}{2!}+\frac{ax^4}{4!}-\frac{ax^6}{...
</tex>
.. _eq4:
<tex>
\sin(ax) = \frac{ax}{1!}-\frac{ax^3}{3!}+\frac{ax^5}{5!}-...
</tex>
`式(3)`_ と `式(4)`_ を `式(2)`_ に代入すると,オイラーの...
<tex>
e^{iax} = \cos(ax)+i\sin(ax)
</tex>
が得られます.なんだかだまされたような感じですが,とりあ...
使いみち
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「 $e$ の肩に虚数単位 $i$ が乗っていたら, $\sin$ と $\co...
ということを肝に命じておきましょう. $i$ に負号がついて $...
$sin\, , \cos$ で表したときの $i$ の符号が変わるだけです.
<tex>
e^{iax} &= \cos(ax)+i\sin(ax)\\
e^{-iax} &= \cos(ax)-i\sin(ax)
</tex>
また,上の2つの式を足し合わせると普通の $\sin\, , \cos$ を
$e$ を使って表すことができます.
$e^{iax}+e^{-iax}=2\cos(ax)$ より $\cos(ax)=\frac{e^{iax}...
$e^{iax}-e^{-iax}=2i\sin(ax)$ より $\sin(ax)=\frac{e^{iax...
この関係も活躍するので憶えておくといいですね.
.. _式(1): #eq1
.. _式(2): #eq2
.. _式(3): #eq3
.. _式(4): #eq4
@@author:崎間@@
@@accept:2004-05-10@@
@@category:物理数学@@
@@id:euler@@
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