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#rst2hooktail_source
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ウェッジ積について補足
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まず、 $n$ 次元のベクトル空間を $V$ とします。私達は、 $V...
p-ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
いま、外積空間 $\land ^{p}V$ の基底は、 $V$ の基底を $\{ ...
<tex>
\sum \limits _{h} \alpha (\sigma^{h_{1}} \land \sigma^{h_...
</tex>
このように、外積空間 $\land ^{p}V$ に含まれる元を、外積空...
ウェッジ積の代数的性質:補足
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ウェッジ積の代数的性質については、既に 外積代数_ で次の四...
1. $\alpha \land \alpha = 0$
2. $ \alpha \land \beta = - \beta \land \alpha$ (交代性)
3. $ (a \alpha + b \beta ) \land \gamma= a \alpha \land ...
4. $(\alpha \land \beta ) \land \gamma = \alpha \land (\...
さらに、次の性質を追加しておきます。
<tex>
5-1. \ \ \ (c_{a}\alpha_{1}+c_{2}\alpha_{2})\land \beta ...
</tex>
<tex>
5-2. \ \ \ \alpha \land (c_{a}\beta_{1}+c_{2}\beta_{2}) ...
</tex>
五番目の性質は 双線形性_ です。
.. [*] 結合則に関して、ベクトルの外積 $\times$ には結合則...
高次のウェッジ積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
外積空間 $\land ^{p} V$ と $\land ^{q} V$ (ただし $p,q<n...
<tex>
\land : \ \ \land ^{p} V , \ \land ^{q} V \rightarrow ...
</tex>
<tex>
(\land ^{p} V ) \land (\land ^{q} V) \ \ \longmapsto \ \...
</tex>
これはp-ベクトルとq-ベクトルのウェッジ積が(p+q)-ベクトル...
<tex>
\lambda \land \mu= (-1)^{pq}\mu \land \lambda \tag{3}
</tex>
ウェッジ積の交代性より $\alpha \land \beta = -\beta \land...
反対称的な書き方
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まずベクトル空間 $V$ から生成した外積空間 $\land ^{1}V$ ...
<tex>
\lambda = \sum \limits_{i} a_{i} \sigma^{i} \tag{4}
</tex>
<tex>
\mu = \sum \limits_{j} b_{j} \sigma^{j} \tag{5}
</tex>
ここで $a_{i},b_{j}$ はスカラーの共変成分です。後の都合に...
<tex>
\lambda \land \mu = \sum \limits_{i,j} a_{i}b_{j} ( \si...
</tex>
ウェッジ積の表現自体はこれで合っていますが、項数をもう少...
<tex>
\lambda \land \mu = \sum \limits_{i<j} ( a_{i}b_{j}-a_{j...
</tex>
なんだか、お馴染みのベクトルの外積にそっくりな形が出て気...
ウェッジ積の例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
計算練習のつもりで、次の左辺を展開して、自分で右辺を導い...
<tex>
(Ax+By+Cz)\land (Ex+Fy+Gz) = (BG-CF)y\land z + (CE-AG)z \...
</tex>
もう一つ、1-ベクトルと2-ベクトルのウェッジ積も計算してみ...
<tex>
(Ax+By+Cz)\land (Py\land z+Qz \land x+Rx \land y) = (AP+B...
</tex>
左辺からちゃんと右辺が導けましたか?これがスラスラできれ...
.. [*] 以前 `もう一度だけ内積・外積`_ の記事中に、ベクト...
.. _外積代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _`もう一度だけ内積・外積`: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _イデアルで外積代数を入れる: http://www12.plala.or.jp/...
.. _双線形性: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ExteriorProds@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ウェッジ積について補足
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まず、 $n$ 次元のベクトル空間を $V$ とします。私達は、 $V...
p-ベクトル
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いま、外積空間 $\land ^{p}V$ の基底は、 $V$ の基底を $\{ ...
<tex>
\sum \limits _{h} \alpha (\sigma^{h_{1}} \land \sigma^{h_...
</tex>
このように、外積空間 $\land ^{p}V$ に含まれる元を、外積空...
ウェッジ積の代数的性質:補足
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ウェッジ積の代数的性質については、既に 外積代数_ で次の四...
1. $\alpha \land \alpha = 0$
2. $ \alpha \land \beta = - \beta \land \alpha$ (交代性)
3. $ (a \alpha + b \beta ) \land \gamma= a \alpha \land ...
4. $(\alpha \land \beta ) \land \gamma = \alpha \land (\...
さらに、次の性質を追加しておきます。
<tex>
5-1. \ \ \ (c_{a}\alpha_{1}+c_{2}\alpha_{2})\land \beta ...
</tex>
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5-2. \ \ \ \alpha \land (c_{a}\beta_{1}+c_{2}\beta_{2}) ...
</tex>
五番目の性質は 双線形性_ です。
.. [*] 結合則に関して、ベクトルの外積 $\times$ には結合則...
高次のウェッジ積
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外積空間 $\land ^{p} V$ と $\land ^{q} V$ (ただし $p,q<n...
<tex>
\land : \ \ \land ^{p} V , \ \land ^{q} V \rightarrow ...
</tex>
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(\land ^{p} V ) \land (\land ^{q} V) \ \ \longmapsto \ \...
</tex>
これはp-ベクトルとq-ベクトルのウェッジ積が(p+q)-ベクトル...
<tex>
\lambda \land \mu= (-1)^{pq}\mu \land \lambda \tag{3}
</tex>
ウェッジ積の交代性より $\alpha \land \beta = -\beta \land...
反対称的な書き方
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まずベクトル空間 $V$ から生成した外積空間 $\land ^{1}V$ ...
<tex>
\lambda = \sum \limits_{i} a_{i} \sigma^{i} \tag{4}
</tex>
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\mu = \sum \limits_{j} b_{j} \sigma^{j} \tag{5}
</tex>
ここで $a_{i},b_{j}$ はスカラーの共変成分です。後の都合に...
<tex>
\lambda \land \mu = \sum \limits_{i,j} a_{i}b_{j} ( \si...
</tex>
ウェッジ積の表現自体はこれで合っていますが、項数をもう少...
<tex>
\lambda \land \mu = \sum \limits_{i<j} ( a_{i}b_{j}-a_{j...
</tex>
なんだか、お馴染みのベクトルの外積にそっくりな形が出て気...
ウェッジ積の例
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計算練習のつもりで、次の左辺を展開して、自分で右辺を導い...
<tex>
(Ax+By+Cz)\land (Ex+Fy+Gz) = (BG-CF)y\land z + (CE-AG)z \...
</tex>
もう一つ、1-ベクトルと2-ベクトルのウェッジ積も計算してみ...
<tex>
(Ax+By+Cz)\land (Py\land z+Qz \land x+Rx \land y) = (AP+B...
</tex>
左辺からちゃんと右辺が導けましたか?これがスラスラできれ...
.. [*] 以前 `もう一度だけ内積・外積`_ の記事中に、ベクト...
.. _外積代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _`もう一度だけ内積・外積`: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _イデアルで外積代数を入れる: http://www12.plala.or.jp/...
.. _双線形性: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ExteriorProds@@
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