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イデアルで外積代数を入れる2
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テンソル代数 $T(V)$ に対し、 $x\otimes x$ という元を含む...
<tex>
I = \{ \sum \limits_{i=1}^{n}
a_{i} \otimes x_{i} \otimes x_{i} \otimes b_{i} \ | \ a_...
</tex>
<tex>
E(V)= T(V) /I
</tex>
この $E(V)$ を外積代数と呼ぶ、ということでしたが、この記...
外積代数の元
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
イデアルが $x \otimes x$ で生成される、という感じは掴めた...
さて、 $I$ は $x \otimes x$ から生成されていますので、 $x...
<tex>
T(V) &= R \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes...
</tex>
そして、 $x \otimes x$ と、任意のテンソル $\in T(V)$ との...
<tex>
I \supset (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V)\o...
</tex>
式 $(2)$ を、もう一度、式 $(1)$ と比べてみましょう。 $I$ ...
.. [*] ただし、 $0$ はイデアルの方に入っています。 $0$ は...
.. figure:: Joh-IdealImage4.gif
イデアルは何でも飲み込んでしまう。(適当に□と△と楕円で描...
.. admonition:: theorem
$R \oplus V$ の元は、全て異なる同値類に分類されます。
.. admonition:: proof
$x,y \in V \ (x \ne y)$ に対し、 $x -y \ne 0$ 、 $x-y \...
イデアルによる商代数で二つの元が同値だとは、 $x -y \in I$...
<tex>
E(V)=T(V)/I = \{ [\alpha ],[\beta ], [\gamma ],...,[x],[y...
</tex>
もちろん、 $V \times V$ 以上の元 $(\in T(V))$ がどのよう...
外積代数の分解
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
テンソル空間 $T(V)$ から $E(V)$ への写像を $\pi$ としまし...
<tex>
\pi : \ \pi (\alpha ) \ \ \longmapsto \ \ [\alpha] \in E...
</tex>
<tex>
\pi : \ \pi (x ) \ \ \longmapsto \ \ [x] \in E(V) \ \ (\...
</tex>
これにより、 $R$ と $\pi (R)$ 、 $V$ と $\pi (V)$ を同一...
<tex>
\pi (R) = R
</tex>
<tex>
\pi (V) = V
</tex>
さて、問題は $V \otimes V$ 以上の階数のテンソルです。テン...
<tex>
\pi (x \otimes y) = [x] \land [y] = x \land y \ \ (x,y \i...
</tex>
これより、ベクトル空間 $V$ 全体の写像は次のように書けるで...
<tex>
\pi (V \otimes V) = V \land V
</tex>
より高階のテンソル空間についても、同様とします。
<tex>
\pi ( \otimes^{k} V) = \land ^{k} V
</tex>
これらの結果より、 $E(V)$ は次のように部分ベクトル空間の...
<tex>
E(V) = R \oplus V \oplus \land ^{2}V \oplus \land ^{3} V ...
</tex>
右辺に出て来る各外積空間 $\land ^{k}V$ の基底は独立で、左...
.. _`イデアルで外積代数を入れる3`: http://www12.plala.or...
.. _外積代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _テンソル代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _類別: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Klassierung/
.. _イデアル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _ベクトルの割り算: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remainder/
.. _剰余類2: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remain...
.. _商集合: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FactorSet/
.. _代数学: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/index.html
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: IdealExteriorAlgebra2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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イデアルで外積代数を入れる2
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テンソル代数 $T(V)$ に対し、 $x\otimes x$ という元を含む...
<tex>
I = \{ \sum \limits_{i=1}^{n}
a_{i} \otimes x_{i} \otimes x_{i} \otimes b_{i} \ | \ a_...
</tex>
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E(V)= T(V) /I
</tex>
この $E(V)$ を外積代数と呼ぶ、ということでしたが、この記...
外積代数の元
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イデアルが $x \otimes x$ で生成される、という感じは掴めた...
さて、 $I$ は $x \otimes x$ から生成されていますので、 $x...
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T(V) &= R \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes...
</tex>
そして、 $x \otimes x$ と、任意のテンソル $\in T(V)$ との...
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I \supset (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V)\o...
</tex>
式 $(2)$ を、もう一度、式 $(1)$ と比べてみましょう。 $I$ ...
.. [*] ただし、 $0$ はイデアルの方に入っています。 $0$ は...
.. figure:: Joh-IdealImage4.gif
イデアルは何でも飲み込んでしまう。(適当に□と△と楕円で描...
.. admonition:: theorem
$R \oplus V$ の元は、全て異なる同値類に分類されます。
.. admonition:: proof
$x,y \in V \ (x \ne y)$ に対し、 $x -y \ne 0$ 、 $x-y \...
イデアルによる商代数で二つの元が同値だとは、 $x -y \in I$...
<tex>
E(V)=T(V)/I = \{ [\alpha ],[\beta ], [\gamma ],...,[x],[y...
</tex>
もちろん、 $V \times V$ 以上の元 $(\in T(V))$ がどのよう...
外積代数の分解
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テンソル空間 $T(V)$ から $E(V)$ への写像を $\pi$ としまし...
<tex>
\pi : \ \pi (\alpha ) \ \ \longmapsto \ \ [\alpha] \in E...
</tex>
<tex>
\pi : \ \pi (x ) \ \ \longmapsto \ \ [x] \in E(V) \ \ (\...
</tex>
これにより、 $R$ と $\pi (R)$ 、 $V$ と $\pi (V)$ を同一...
<tex>
\pi (R) = R
</tex>
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\pi (V) = V
</tex>
さて、問題は $V \otimes V$ 以上の階数のテンソルです。テン...
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\pi (x \otimes y) = [x] \land [y] = x \land y \ \ (x,y \i...
</tex>
これより、ベクトル空間 $V$ 全体の写像は次のように書けるで...
<tex>
\pi (V \otimes V) = V \land V
</tex>
より高階のテンソル空間についても、同様とします。
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\pi ( \otimes^{k} V) = \land ^{k} V
</tex>
これらの結果より、 $E(V)$ は次のように部分ベクトル空間の...
<tex>
E(V) = R \oplus V \oplus \land ^{2}V \oplus \land ^{3} V ...
</tex>
右辺に出て来る各外積空間 $\land ^{k}V$ の基底は独立で、左...
.. _`イデアルで外積代数を入れる3`: http://www12.plala.or...
.. _外積代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialfo...
.. _テンソル代数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _類別: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Klassierung/
.. _イデアル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _ベクトルの割り算: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
.. _剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remainder/
.. _剰余類2: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remain...
.. _商集合: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FactorSet/
.. _代数学: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/index.html
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-06@@
@@category: 微分形式@@
@@id: IdealExteriorAlgebra2@@
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