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#rst2hooktail_source
============================================
イデアル
============================================
イデアルは部分環の一種ですが、とても重要な概念ですので、...
それでも、ざっと考え方に触れておくと良いと思います。
.. [*] イデアルとはなんとも奇妙な名前です。英語では $idea...
イデアルの定義
---------------------------------------------------
環 $R$ の部分環 $I$ が次の性質を満たすとき、 $I$ を **イ...
<tex>
I \subset R
</tex>
.. important::
環 $R$ の任意の元 $x$ と、 $I$ の任意の元 $a$ に対し $xa...
一般に環の乗法は非可換なので、ここで定義したイデアルを特...
イデアルは既に部分環なので、加法に関しては環 $R$ の部分群...
.. [*] 積を取れば何でも自分の元になってしまう、という代数...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
環 $R$ の零元 $0$ はそれだけでイデアルになります。 $R$ の...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数環 $Z$ で、偶数全体からなる集合はイデアルです。偶数同...
一般に、整数環 $Z$ で整数 $m$ の倍数の全体 $[m]$ はイデア...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
R上の多項式環 $R[x]$ で、 $x=1$ を代入すると $0$ になる...
単項イデアル
---------------------------------------------------------...
単位元を持つ環 $R$ のある元 $a$ を取り、 $R$ の全ての元 $...
実際、この $I$ に $R$ の任意の元 $x_{i}$ を掛けてみると、...
これを *aで生成された単項左イデアル* と呼びます。同様に $...
元 $a$ から生成されたイデアルを記号で $(a)$ のように書く...
<tex>
(a)=\{ax_{1},ax_{2},....,ax_{n},... \} =aR \tag{1}
</tex>
環には加法と乗法があったわけですが、加法と乗法とで表わせ...
.. [*] 定義と例の羅列だけでは、実感のある理解は難しいかも...
例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数環 $Z$ で、ある素数 $p$ を取ります。 $p$ から生成する...
.. [*] 特に、整数環のイデアルは、整数 $m$ の倍数集合 $[m]...
集合から生成されたイデアル
-----------------------------------------------------------
単項イデアルは一つの元から作ったイデアルでしたが、元を集...
<tex>
(a_{1},a_{2},...,a_{n})=a_{1}R+a_{2}R+...+a_{n}R \tag{2}
</tex>
これを、集合 $\{a_{1},a_{2},...,a_{n} \}$ から生成された...
.. [*] ドイツの数学者クンマー( $\text{Ernst Eduard Kummer...
.. figure:: Joh-Kummer.gif
(理想数を考え付いたクンマー)
体のイデアル
-----------------------------------------------------
体のイデアルは自明なイデアル、つまり $\{ 0\} $ と体自身の...
.. admonition:: theorem
体のイデアルは、自明なイデアル( $\{ 0\} $ と体自身)だけ...
.. admonition:: proof
体 $F$ のイデアル $I$ が、 $0$ 以外の元 $a$ を含むとしま...
逆に、環が $\{ 0 \} $ と環自身以外にイデアルを持たないと...
.. important::
環が自明なイデアル( $\{ 0\} $ と環自身)しか持たないとき...
.. admonition:: proof
環 $R$ のイデアルが $\{ 0\} $ と $R$ 自身のみだとします...
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef/
.. _整域・整数の剰余類の環: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _部分群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Subgroup/
@@author: Joh・丹下@@
@@accept: 2006-05-27@@
@@category: 代数学@@
@@id: Ideal@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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イデアル
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イデアルは部分環の一種ですが、とても重要な概念ですので、...
それでも、ざっと考え方に触れておくと良いと思います。
.. [*] イデアルとはなんとも奇妙な名前です。英語では $idea...
イデアルの定義
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環 $R$ の部分環 $I$ が次の性質を満たすとき、 $I$ を **イ...
<tex>
I \subset R
</tex>
.. important::
環 $R$ の任意の元 $x$ と、 $I$ の任意の元 $a$ に対し $xa...
一般に環の乗法は非可換なので、ここで定義したイデアルを特...
イデアルは既に部分環なので、加法に関しては環 $R$ の部分群...
.. [*] 積を取れば何でも自分の元になってしまう、という代数...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
環 $R$ の零元 $0$ はそれだけでイデアルになります。 $R$ の...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数環 $Z$ で、偶数全体からなる集合はイデアルです。偶数同...
一般に、整数環 $Z$ で整数 $m$ の倍数の全体 $[m]$ はイデア...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
R上の多項式環 $R[x]$ で、 $x=1$ を代入すると $0$ になる...
単項イデアル
---------------------------------------------------------...
単位元を持つ環 $R$ のある元 $a$ を取り、 $R$ の全ての元 $...
実際、この $I$ に $R$ の任意の元 $x_{i}$ を掛けてみると、...
これを *aで生成された単項左イデアル* と呼びます。同様に $...
元 $a$ から生成されたイデアルを記号で $(a)$ のように書く...
<tex>
(a)=\{ax_{1},ax_{2},....,ax_{n},... \} =aR \tag{1}
</tex>
環には加法と乗法があったわけですが、加法と乗法とで表わせ...
.. [*] 定義と例の羅列だけでは、実感のある理解は難しいかも...
例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数環 $Z$ で、ある素数 $p$ を取ります。 $p$ から生成する...
.. [*] 特に、整数環のイデアルは、整数 $m$ の倍数集合 $[m]...
集合から生成されたイデアル
-----------------------------------------------------------
単項イデアルは一つの元から作ったイデアルでしたが、元を集...
<tex>
(a_{1},a_{2},...,a_{n})=a_{1}R+a_{2}R+...+a_{n}R \tag{2}
</tex>
これを、集合 $\{a_{1},a_{2},...,a_{n} \}$ から生成された...
.. [*] ドイツの数学者クンマー( $\text{Ernst Eduard Kummer...
.. figure:: Joh-Kummer.gif
(理想数を考え付いたクンマー)
体のイデアル
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体のイデアルは自明なイデアル、つまり $\{ 0\} $ と体自身の...
.. admonition:: theorem
体のイデアルは、自明なイデアル( $\{ 0\} $ と体自身)だけ...
.. admonition:: proof
体 $F$ のイデアル $I$ が、 $0$ 以外の元 $a$ を含むとしま...
逆に、環が $\{ 0 \} $ と環自身以外にイデアルを持たないと...
.. important::
環が自明なイデアル( $\{ 0\} $ と環自身)しか持たないとき...
.. admonition:: proof
環 $R$ のイデアルが $\{ 0\} $ と $R$ 自身のみだとします...
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef/
.. _整域・整数の剰余類の環: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _部分群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Subgroup/
@@author: Joh・丹下@@
@@accept: 2006-05-27@@
@@category: 代数学@@
@@id: Ideal@@
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