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===================================================
もう一度grad,div,rot
===================================================
三次元ユークリッド空間上の零次微分形式 $\omega_{0}$ 、一...
<tex>
d\omega_{0} &= df \\
&= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\pa...
</tex>
<tex>
d\omega _{1} &= d(f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz) \\
&= \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial ...
\left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{...
dz \land dx +
\left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}...
\right) dx \land dy \tag{2}
</tex>
<tex>
d\omega _{2} & =
d( P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \...
& =
\left(
\frac{\partial P}{\partial x}
+ \frac{\partial Q}{\partial y}
+ \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx \land dy \land...
</tex>
<tex>
d\omega _{3} & =
d(\Theta (x,y,z)dx\land dy \land dz ) \\
& = 0 \tag{4}
</tex>
これらをじっと見ていて気がつくのは、ベクトル解析に出てき...
<tex>
T_{1}(\omega_{1}) = (f,g,h) \tag{5}
</tex>
このとき、ベクトル $T_{1}(\omega_{1}) $ の回転は次のよう...
<tex>
{\rm rot} T_{1}(\omega _{1}) = \left(
\frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z}
, \
\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x}
, \
\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}
\right) \tag{6}
</tex>
成分はよく似ていますが、式 $(2)$ は二次微分形式になってい...
<tex>
{\rm rot}T_{1}(\omega _{1})=T_{1}(*(d\omega _{1})) \tag{6}
</tex>
同様に、発散と二次微分形式は次のように関係づけられます。...
<tex>
{\rm div}T_{1}(*\omega _{2})=*(d\omega _{2}) \tag{7}
</tex>
勾配は次のように書けるでしょう。
<tex>
{\rm grad}\omega _{0} = T_{1}(d\omega _{0}) \tag{8}
</tex>
初めて勉強したとき、何だか謎めいて見えたベクトル演算子で...
.. [*] ホッジ作用素については、空間の向きや計量の正負につ...
ベクトル場とか接ベクトルとか・・・
=========================================================...
勾配、発散、回転などは、ベクトル演算子 $\nabla = \left( \...
この関係を外積空間で捉えなおしてみましょう。 ホッジ作用素...
一次微分形式 $fdx+gdy+hdz$ の双対は、 $f\frac{\partial}{\...
.. [*] この段階では、 $\frac{\partial}{\partial x}$ 等を...
実は、普通に(曲面 $f$ 上の局所的な $uvw$ 座標系で)考え...
.. [*] 一次微分形式は $dx$ などが基底になっていて、いかに...
.. [*] ベクトル場の基底と $\land ^{2}R^{3}$ の基底の対応...
.. [*] もし二つの座標系 $x$ と $u$ に関し、 $x=u$ であれ...
.. _`gradの積分形による定義`: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _ベクトルの関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトル場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _ポアンカレの補題: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _回転: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Vec...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _方向微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _発散: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Gra...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id:DiffFormsGradDivRot@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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もう一度grad,div,rot
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三次元ユークリッド空間上の零次微分形式 $\omega_{0}$ 、一...
<tex>
d\omega_{0} &= df \\
&= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\pa...
</tex>
<tex>
d\omega _{1} &= d(f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz) \\
&= \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial ...
\left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{...
dz \land dx +
\left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}...
\right) dx \land dy \tag{2}
</tex>
<tex>
d\omega _{2} & =
d( P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \...
& =
\left(
\frac{\partial P}{\partial x}
+ \frac{\partial Q}{\partial y}
+ \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx \land dy \land...
</tex>
<tex>
d\omega _{3} & =
d(\Theta (x,y,z)dx\land dy \land dz ) \\
& = 0 \tag{4}
</tex>
これらをじっと見ていて気がつくのは、ベクトル解析に出てき...
<tex>
T_{1}(\omega_{1}) = (f,g,h) \tag{5}
</tex>
このとき、ベクトル $T_{1}(\omega_{1}) $ の回転は次のよう...
<tex>
{\rm rot} T_{1}(\omega _{1}) = \left(
\frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z}
, \
\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x}
, \
\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}
\right) \tag{6}
</tex>
成分はよく似ていますが、式 $(2)$ は二次微分形式になってい...
<tex>
{\rm rot}T_{1}(\omega _{1})=T_{1}(*(d\omega _{1})) \tag{6}
</tex>
同様に、発散と二次微分形式は次のように関係づけられます。...
<tex>
{\rm div}T_{1}(*\omega _{2})=*(d\omega _{2}) \tag{7}
</tex>
勾配は次のように書けるでしょう。
<tex>
{\rm grad}\omega _{0} = T_{1}(d\omega _{0}) \tag{8}
</tex>
初めて勉強したとき、何だか謎めいて見えたベクトル演算子で...
.. [*] ホッジ作用素については、空間の向きや計量の正負につ...
ベクトル場とか接ベクトルとか・・・
=========================================================...
勾配、発散、回転などは、ベクトル演算子 $\nabla = \left( \...
この関係を外積空間で捉えなおしてみましょう。 ホッジ作用素...
一次微分形式 $fdx+gdy+hdz$ の双対は、 $f\frac{\partial}{\...
.. [*] この段階では、 $\frac{\partial}{\partial x}$ 等を...
実は、普通に(曲面 $f$ 上の局所的な $uvw$ 座標系で)考え...
.. [*] 一次微分形式は $dx$ などが基底になっていて、いかに...
.. [*] ベクトル場の基底と $\land ^{2}R^{3}$ の基底の対応...
.. [*] もし二つの座標系 $x$ と $u$ に関し、 $x=u$ であれ...
.. _`gradの積分形による定義`: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _ベクトルの関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトル場: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _ポアンカレの補題: http://www12.plala.or.jp/ksp/differ...
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialform...
.. _回転: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Vec...
.. _ホッジ作用素: http://www12.plala.or.jp/ksp/differenti...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/diff...
.. _方向微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _発散: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Gra...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id:DiffFormsGradDivRot@@
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