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もう一度ベクトル3(幾何と代数の通訳)
====================================
0.幾何と代数の通訳
------------------------------------
ベクトルは線分(大きさ、長さ)に向きという情報を加えた有...
ですから当然ベクトルには幾何学的な情報があります。
でも和や、差、積が考えられることからわかるとおり、代数的...
一度ベクトルを適当な [*]_ 座標系の成分を用いて表してあげ...
.. contents::
簡単な幾何学的な条件がベクトルではどう表現できるかを見て...
.. [*]
もう一度ベクトル1、同2ではデカルト座標しか扱っていませ...
で表しても全く問題ありません。一般的にもあまり極座標で表...
高校でもあまり扱っていないということで、極座標で考えても...
『わかった!』という感には至り難いのが原因かなと思います。
そういえば極座標だと、2点間の相互の座標変換も面倒です
1.原点以外からの変位ベクトル
-------------------------------
基本的にベクトルは「原点からどれだけ変位したか」という成...
でも幾何学って、図形に含まれないただの基準点なら、どんな...
そこで、図形に含まれる点を始点としたベクトルではどういっ...
つまり、「点 $A$ から $B$ へのベクトルをどう表現すればいい...
ベクトルの和のところを思い出してみましょう。
2つの表記が混在していますが点の移動を追いやすくするため...
<tex>
&\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrig...
\Longleftrightarrow
&\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrig...
=
\bm{b}-\bm{a}
</tex>
となります。この結果は覚えておきましょう。
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig1.png
また、この結果の興味深い点は原点 $O$ について何も条件を...
つまり、原点 $O$ ではなくても任意の点に関して成立します。
確かに $\overrightarrow{\rm AB}$ は点 $A$ 、点 $B$ の決め...
位置にあるかは関係ないはずなので、そういった側面から眺め...
このように数学が現実を裏切らないことが、数学が自然科学に...
2.内分点の公式
--------------------
内分点を表すベクトルの表記を天下りに書いてしまいますと
「点 $A$ と点 $B$ を $m:n$ に内分する点 $P$ 」を表す位置ベ...
原点(基準点)を $O$ とし、
<tex>
&\bm{r}
\equiv
\overrightarrow{\rm OP} ,\quad
\bm{a}
\equiv
\overrightarrow{\rm OA} ,\quad
\bm{b}
\equiv
\overrightarrow{\rm OB}
</tex>
とすると
<tex>
\bm{r}
=
&\frac{n}{m+n}\bm{a}+\frac{m}{m+n}\bm{b} \\
\stackrel{\mathrm{or}}{=}
&\ \frac{n\bm{a}+m\bm{b}}{m+n}\bm{a}
</tex>
とかけます。
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig2.png
それでは証明してみましょう。いきなり上の公式が見えてしま...
"内分"しているのですから、内分している線分で考えるのが一...
以上の図の半直線 $AB$ を見てください。
図から $P$ が半直線 $AB$ の $m:n$ の内分点である条件とし...
<tex>
AP:AB=m:m+n
</tex>
であることです。また、比は左右同じ数で割っても比には変化...
<tex>
m:m+n
=
\frac{m}{m+n}:1
</tex>
と変形します。この式は「半直線 $AB$ の長さを $1$ としたと...
の長さは $\frac{m}{m+n}$ となる」事を言っています。この事...
に反映してあげればいいのです。
図から $\overrightarrow{\rm AP}$ は $\overrightarrow{\r...
と方向が等しいので $\overrightarrow{\rm AP}$ は $\overrig...
で表せるはずですね。ではその定数を求めなければならないの...
比で求めていたわけです。上記で求めたとおり
<tex>
AP:AB=\frac{m}{m+n}:1
</tex>
なのでベクトルな長さの関係になおすと
<tex>
|\overrightarrow{\rm AP}|:|\overrightarrow{\rm AB}|=\frac...
</tex>
となることから
<tex>
\overrightarrow{\rm AP}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{\rm ...
</tex>
となります。大きさの比と平行な条件だけでは必ずしも係数が...
図から向き(≠方向)も等しいことから上記の式が導かれます。
<tex>
(*)
\Longleftrightarrow
&(m+n)\overrightarrow{\rm AP}=m\overrightarrow{\rm AB} \\
\Longleftrightarrow
&(m+n)(\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA})=m...
\Longleftrightarrow
&(m+n)(\bm{r}-\bm{a})=m(\bm{b}-\bm{a}) \\
\Longleftrightarrow
&(m+n)\bm{r}-(m+n)\bm{a}=m\bm{b}-m\bm{a} \\
\Longleftrightarrow
&(m+n)\bm{r}=(m+n)\bm{a}+m\bm{b}-m\bm{a} \\
\Longleftrightarrow
&(m+n)\bm{r}=n\bm{a}+m\bm{b} \\
\Longleftrightarrow
&\bm{r}=\frac{n\bm{a}+m\bm{b}}{m+n} \tag{1}
</tex>
となり証明できました。特に $m+n=1$ のとき $m=1-n$ で
<tex>
\bm{r}=n\bm{a}+(1-n)\bm{b} \tag{2}
</tex>
と書けます。また逆に $(1),(2)$ 式のようにかけるときそれは...
が乗っていると言い換えることが出来ます。
3.絶対値の公式
----------------------------------------
先ずこの公式を天下り的に紹介しますと
<tex>
|\overrightarrow{\rm AB}|^2=|\bm{B}-\bm{A}|^2
=|\bm{B}|^2-2\bm{B}\cdot\bm{A}+|\bm{A}|^2
</tex>
となります。二項展開に非常に似ているので覚えるのもそれほ...
思います。この公式の利用例を紹介しておきます。
証明は余弦定理を用いて行います。簡単なので余力があれば実...
どうしても $A$ から $B$ の距離を測りたいときに $|\bm{A}...
、 $\theta$ しかわかっていないことがあります。 [*]_
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig3.png
もし具体的に $\bm{A}$ と $\bm{B}$ がわかれば内積を計算...
3量は求まることを確認してみてください。このときに $A$ か...
3量で表す公式があります。方程式として変形したいので答え...
して $k(k\geq0)$ などと置いておきます。
<tex>
&|\overrightarrow{\rm AB}|=k \\
\Longleftrightarrow
&|\overrightarrow{\rm AB}|^2=k^2 (\because k\geq0)\\
\Longleftrightarrow
&|\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}|^2=k^2 \\
\Longleftrightarrow
&|\bm{b}-\bm{a}|^2=k^2 \\
\Longleftrightarrow
&|\bm{b}|^2-2\bm{b}\cdot\bm{a}+|\bm{a}|^2=k^2
</tex>
4行目から5行目の変形が該当する公式です。以上の左辺は計...
平方根をとれば具体的に値が求まります。
.. [*]
中学校で習う三角形の三つの合同条件を覚えているでしょうか...
その間の角がそれぞれ等しい)がまさにこの内容です。つまり...
の角を定めれば三角形は一意に定まるということです。確かに...
間の角度をグリグリ動かしてやれば間の角度1つにつき三角形...
と思います。
4.直交条件
------------------
2つのベクトルが直交する条件ってどう表せるのか?という...
テーマです。
2つのベクトルの関係を表す指数として内積がありました。
2つのベクトル $\bm{A},\bm{B}$ の内積はそれぞれ大きさ $|\...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{B}=|\bm{A}| \ |\bm{B}|\cos \theta
</tex>
と表せました。
「2つのベクトルが直交する」ということは「2つのベクトルのな...
$|\bm{A}||\bm{B}|\cos{\theta}$ に上記の条件を代入すると $...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{B}=0
</tex>
という条件を考えればいい事になります。
代数的な側面においては内積を具体的に成分で書き下して
<tex>
\bm{A}\cdot\bm{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=0
</tex>
という条件で考えます。 [*]_
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig4.png
蛇足:直交条件を外積で表すと…
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトルの外積 $\bm{A}\times\bm{B}$ にも角度の部分があ...
代入すると $|\bm{A}||\bm{B}|$ という結果が得られますが、
<tex>
&|\bm{a}\times\bm{b}|=|\bm{A}||\bm{B}| \\
\Longleftrightarrow
&
\sqrt{(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_zb_x-a_xb_z)^2+(a_xb_y-a_yb_z)...
=
\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}
</tex>
となるだけで変数が左右にばらばらに散らばっちゃって使い物...
因みにこれを両辺平方して $\sqrt{}$ を外すして整理すると
<tex>
a_x^2b_x^2+a_y^2b_y^2+a_z^2b_z^2=-2(a_yb_za_zb_y+a_zb_xa_...
</tex>
となりますが、これを移項したものは内積の直交条件で導いた...
かなり計算した割には結局ほぼ同じ式を計算していたわけです...
内積を計算した方が 楽… ですね。
.. [*]
「直角だから内積が0」というのは純粋な数学的には誤りです。
空間に浮かぶ幾何学的なもの(矢印を含みます)を天下り的に認...
数学的には「空間」という言葉は抽象化されていて、日常用語の...
数学的には「ベクトル空間である」→「内積が定義できる(内積空...
ここで議論している空間は基本的に3次元ユークリッド空間に...
数学で扱うような一般の空間とは違うということと、議論の順...
5.付録:ベクトルの外積の直交性とその大きさの確認
---------------------------------------------------------...
もう一度ベクトル2では外積ベクトルを天下り的に「こうなりま...
直交性を確認したついでにその大きさが2ベクトルにより作ら...
いるか確認してしまいましょう
外積で作られるベクトルはもとの2つベクトルに直交している...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
<tex>
\bm{c}\equiv\bm{a}\times\bm{b}
</tex>
とすると「 もう一度ベクトル2_ 」から $\bm{c}$ は $\bm{a}$ ...
使って
<tex>
\bm{c}
=
\begin{pmatrix}
a_yb_z-a_zb_y \\
a_zb_x-a_xb_z \\
a_xb_y-a_yb_x
\end{pmatrix}
</tex>
と書けます。ここで、 $\bm{a}$ と $\bm{c}$ の内積をとりま...
内積は各成分ごとの和を取ればよかったので
<tex>
\bm{a}\cdot\bm{c}
=
&a_x(a_yb_z-a_zb_y)+a_y(a_zb_x-a_xb_z)+a_z(a_xb_y-a_yb_x)...
=
&a_xa_yb_z-a_xa_zb_y+a_ya_zb_x-a_ya_xb_z+a_za_xb_y-a_za_y...
=
&a_xa_yb_z-a_ya_xb_z-a_xa_zb_y+a_za_xb_y+a_ya_zb_x-a_za_y...
=
&0
</tex>
となりました。内積が $0$ なので直交することになります。
当然 $\bm{b}$ に対しても全く同様の計算を行うことにより、...
確認できます。
実はここで、 $\bm{a}\times\bm{b}=-\bm{b}\times\bm{a}$ に...
<tex>
-\bm{c}
=
\begin{pmatrix}
b_ya_z-b_za_y \\
b_za_x-b_xa_z \\
b_xa_y-b_ya_x
\end{pmatrix}
</tex>
となり、直交性を示したいだけならばその向き(≠方向)には興味...
がついて逆を向いていても問題はないはずですね!?つまり
<tex>
&\bm{b}\cdot(-\bm{c})=0 \\
\Longleftrightarrow
&\bm{b}\cdot\bm{c}=0
</tex>
ということです
そこで $\bm{b}$ と" $-\bm{c}$ "の内積を考えます。その成分...
みると $\bm{a}$ と $\bm{c}$ の内積のそれと対応が全く一致...
したがって全く同じ計算により内積が $0$ になることが言える...
ことがいえます. [*]_
.. [*]
「何をまどろっこしいことを」と思った方もいると思います。確...
代入して計算をしたほうが早いのですが、数学の定理を証明す...
ことが目に見えたりしている場合別の定理を利用したりこのよ...
をしたりします。正直なところ、人に聞くと「ズルイ」と思いま...
数学者の仲間入りをした気になってしまいます。(あくまでも...
外積で作られるベクトルの大きさははもとの2つのベクトルが...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
「 もう一度ベクトル2_ 」では $\bm{a}\times\bm{b}$ の
大きさは $|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$ と定義しました。...
に表してその値が一致することを見てみましょう。
このベクトルの大きさの中で $\sin{\theta}$ という量に注目...
三角関数には $\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$ という恒等...
して $|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$ を書き換えると
<tex>
&|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta} \\
=
&|\bm{a}||\bm{b}|\sqrt{1-\cos^2{\theta}}
\ \ (\because \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1, 0<\theta<...
</tex>
ここで内積の図形的な定義である $\bm{a}\cdot\bm{b}=|\bm{a}...
を $\cos{\theta}$ についてといて代入すると
<tex>
&|\bm{a}||\bm{b}|\sqrt{1-\cos^2{\theta}} \\
=
&|\bm{a}||\bm{b}|\sqrt{1-(\frac{\bm{a}\cdot\bm{b}}{|\bm{a...
=
&|\bm{a}||\bm{b}|\sqrt{\frac{|\bm{a}|^2|\bm{b}|^2-(\bm{a}...
=
&\sqrt{|\bm{a}||\bm{b}|^2\frac{|\bm{a}|^2|\bm{b}|^2-(\bm{...
=
&\sqrt{|\bm{a}|^2|\bm{b}|^2-(\bm{a}\cdot\bm{b})^2}
</tex>
とかなりコンパクトになったのでここに具体的な成分を代入し...
まず $\sqrt{}$ の中身をばらすと
<tex>
&|\bm{a}|^2|\bm{b}|^2-(\bm{a}\cdot\bm{b})^2 \\
=
&(a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b_x^2+b_y^2+b_z^2)-(a_xb_x+a_yb_y+a_...
=
&a_x^2b_y^2+a_x^2b_z^2+a_y^2b_x^2+a_y^2b_z^2+a_z^2b_x^2+a...
=
&(a_x^2b_y^2-2a_xa_yb_xb_y+a_y^2b_x^2)+(a_x^2b_z^2-2a_za_...
=
&(a_xb_y-a_yb_x)^2+(a_xb_z-a_zb_x)^2+(a_yb_z-a_zb_y)^2 \\
=
&(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_zb_x-a_xb_z)^2+(a_xb_y-a_yb_x)^2
</tex>
となりました。一方 $\bm{a}\times\bm{b}$ のほうは
<tex>
\bm{a}\times\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_yb_z-a_zb_y \\
a_zb_x-a_xb_z \\
a_xb_y-a_yb_x
\end{pmatrix}
</tex>
と表せるのでその大きさは
<tex>
|\bm{a}\times\bm{b}|
=
\sqrt{(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_zb_x-a_xb_z)^2+(a_xb_y-a_yb_x)...
</tex>
と成分を用いてかけるはずですがこれは先ほどの計算の $\sqrt...
しています。つまりベクトルの大きさは $|\bm{a}||\bm{b}|\si...
等しいことがわかりました。
.. [*]
この値を $2$ で割ったものは二つのベクトルで作られる三角...
事から受験生などは覚えておくと便利です。正四面体の体積へ...
かもしれません
6.まとめ
-----------
以上で求めたベクトルの式を眺めてみるとほとんどのものが...
物理的には、重心の位置ベクトルが内分点を表すベクトルで表...
以下に、このセクションの公式とその使い方・特徴を簡単にま...
- 点 $A(\bm{a})$ から点 $B(\bm{b})$ へ向かうベクトル $\ov...
<tex>
\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrigh...
=
\bm{b}-\bm{a}
</tex>
非常に基本的な公式です。和や差と同じくらい頻繁に出てきま...
- 点 $A(\bm{a})$ と点 $B(\bm{b})$ を $m:n$ に内分するベク...
<tex>
\bm{r}
=
&\frac{n}{m+n}\bm{a}+\frac{m}{m+n}\bm{b} \\
\stackrel{\mathrm{or}}{=}
&\ \frac{n\bm{a}+m\bm{b}}{m+n}\bm{a}
</tex>
高校なんかの定期テストや、私大入試の小問なんかでよくでま...
「与えられた式を変形して適当な置換を行うとこの形になるから...
- 絶対値の公式
<tex>
|\overrightarrow{\rm AB}|^2=|\bm{B}-\bm{A}|^2
=|\bm{B}|^2-2\bm{B}\cdot\bm{A}+|\bm{A}|^2
</tex>
2つのベクトルの相互関係を求めたり、内積を積極的にとるこ...
- 2つのベクトルの直交条件
<tex>
\bm{A}\cdot\bm{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=0
</tex>
文字通り直交条件に用いることが大半。右辺が $"0"$ というか...
.. _もう一度ベクトル2: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
@@author: やっさん@@
@@accept: 2005-09-28@@
@@category: ベクトル解析@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id: restudyVector3@@
終了行:
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もう一度ベクトル3(幾何と代数の通訳)
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0.幾何と代数の通訳
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ベクトルは線分(大きさ、長さ)に向きという情報を加えた有...
ですから当然ベクトルには幾何学的な情報があります。
でも和や、差、積が考えられることからわかるとおり、代数的...
一度ベクトルを適当な [*]_ 座標系の成分を用いて表してあげ...
.. contents::
簡単な幾何学的な条件がベクトルではどう表現できるかを見て...
.. [*]
もう一度ベクトル1、同2ではデカルト座標しか扱っていませ...
で表しても全く問題ありません。一般的にもあまり極座標で表...
高校でもあまり扱っていないということで、極座標で考えても...
『わかった!』という感には至り難いのが原因かなと思います。
そういえば極座標だと、2点間の相互の座標変換も面倒です
1.原点以外からの変位ベクトル
-------------------------------
基本的にベクトルは「原点からどれだけ変位したか」という成...
でも幾何学って、図形に含まれないただの基準点なら、どんな...
そこで、図形に含まれる点を始点としたベクトルではどういっ...
つまり、「点 $A$ から $B$ へのベクトルをどう表現すればいい...
ベクトルの和のところを思い出してみましょう。
2つの表記が混在していますが点の移動を追いやすくするため...
<tex>
&\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrig...
\Longleftrightarrow
&\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrig...
=
\bm{b}-\bm{a}
</tex>
となります。この結果は覚えておきましょう。
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig1.png
また、この結果の興味深い点は原点 $O$ について何も条件を...
つまり、原点 $O$ ではなくても任意の点に関して成立します。
確かに $\overrightarrow{\rm AB}$ は点 $A$ 、点 $B$ の決め...
位置にあるかは関係ないはずなので、そういった側面から眺め...
このように数学が現実を裏切らないことが、数学が自然科学に...
2.内分点の公式
--------------------
内分点を表すベクトルの表記を天下りに書いてしまいますと
「点 $A$ と点 $B$ を $m:n$ に内分する点 $P$ 」を表す位置ベ...
原点(基準点)を $O$ とし、
<tex>
&\bm{r}
\equiv
\overrightarrow{\rm OP} ,\quad
\bm{a}
\equiv
\overrightarrow{\rm OA} ,\quad
\bm{b}
\equiv
\overrightarrow{\rm OB}
</tex>
とすると
<tex>
\bm{r}
=
&\frac{n}{m+n}\bm{a}+\frac{m}{m+n}\bm{b} \\
\stackrel{\mathrm{or}}{=}
&\ \frac{n\bm{a}+m\bm{b}}{m+n}\bm{a}
</tex>
とかけます。
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig2.png
それでは証明してみましょう。いきなり上の公式が見えてしま...
"内分"しているのですから、内分している線分で考えるのが一...
以上の図の半直線 $AB$ を見てください。
図から $P$ が半直線 $AB$ の $m:n$ の内分点である条件とし...
<tex>
AP:AB=m:m+n
</tex>
であることです。また、比は左右同じ数で割っても比には変化...
<tex>
m:m+n
=
\frac{m}{m+n}:1
</tex>
と変形します。この式は「半直線 $AB$ の長さを $1$ としたと...
の長さは $\frac{m}{m+n}$ となる」事を言っています。この事...
に反映してあげればいいのです。
図から $\overrightarrow{\rm AP}$ は $\overrightarrow{\r...
と方向が等しいので $\overrightarrow{\rm AP}$ は $\overrig...
で表せるはずですね。ではその定数を求めなければならないの...
比で求めていたわけです。上記で求めたとおり
<tex>
AP:AB=\frac{m}{m+n}:1
</tex>
なのでベクトルな長さの関係になおすと
<tex>
|\overrightarrow{\rm AP}|:|\overrightarrow{\rm AB}|=\frac...
</tex>
となることから
<tex>
\overrightarrow{\rm AP}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{\rm ...
</tex>
となります。大きさの比と平行な条件だけでは必ずしも係数が...
図から向き(≠方向)も等しいことから上記の式が導かれます。
<tex>
(*)
\Longleftrightarrow
&(m+n)\overrightarrow{\rm AP}=m\overrightarrow{\rm AB} \\
\Longleftrightarrow
&(m+n)(\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA})=m...
\Longleftrightarrow
&(m+n)(\bm{r}-\bm{a})=m(\bm{b}-\bm{a}) \\
\Longleftrightarrow
&(m+n)\bm{r}-(m+n)\bm{a}=m\bm{b}-m\bm{a} \\
\Longleftrightarrow
&(m+n)\bm{r}=(m+n)\bm{a}+m\bm{b}-m\bm{a} \\
\Longleftrightarrow
&(m+n)\bm{r}=n\bm{a}+m\bm{b} \\
\Longleftrightarrow
&\bm{r}=\frac{n\bm{a}+m\bm{b}}{m+n} \tag{1}
</tex>
となり証明できました。特に $m+n=1$ のとき $m=1-n$ で
<tex>
\bm{r}=n\bm{a}+(1-n)\bm{b} \tag{2}
</tex>
と書けます。また逆に $(1),(2)$ 式のようにかけるときそれは...
が乗っていると言い換えることが出来ます。
3.絶対値の公式
----------------------------------------
先ずこの公式を天下り的に紹介しますと
<tex>
|\overrightarrow{\rm AB}|^2=|\bm{B}-\bm{A}|^2
=|\bm{B}|^2-2\bm{B}\cdot\bm{A}+|\bm{A}|^2
</tex>
となります。二項展開に非常に似ているので覚えるのもそれほ...
思います。この公式の利用例を紹介しておきます。
証明は余弦定理を用いて行います。簡単なので余力があれば実...
どうしても $A$ から $B$ の距離を測りたいときに $|\bm{A}...
、 $\theta$ しかわかっていないことがあります。 [*]_
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig3.png
もし具体的に $\bm{A}$ と $\bm{B}$ がわかれば内積を計算...
3量は求まることを確認してみてください。このときに $A$ か...
3量で表す公式があります。方程式として変形したいので答え...
して $k(k\geq0)$ などと置いておきます。
<tex>
&|\overrightarrow{\rm AB}|=k \\
\Longleftrightarrow
&|\overrightarrow{\rm AB}|^2=k^2 (\because k\geq0)\\
\Longleftrightarrow
&|\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}|^2=k^2 \\
\Longleftrightarrow
&|\bm{b}-\bm{a}|^2=k^2 \\
\Longleftrightarrow
&|\bm{b}|^2-2\bm{b}\cdot\bm{a}+|\bm{a}|^2=k^2
</tex>
4行目から5行目の変形が該当する公式です。以上の左辺は計...
平方根をとれば具体的に値が求まります。
.. [*]
中学校で習う三角形の三つの合同条件を覚えているでしょうか...
その間の角がそれぞれ等しい)がまさにこの内容です。つまり...
の角を定めれば三角形は一意に定まるということです。確かに...
間の角度をグリグリ動かしてやれば間の角度1つにつき三角形...
と思います。
4.直交条件
------------------
2つのベクトルが直交する条件ってどう表せるのか?という...
テーマです。
2つのベクトルの関係を表す指数として内積がありました。
2つのベクトル $\bm{A},\bm{B}$ の内積はそれぞれ大きさ $|\...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{B}=|\bm{A}| \ |\bm{B}|\cos \theta
</tex>
と表せました。
「2つのベクトルが直交する」ということは「2つのベクトルのな...
$|\bm{A}||\bm{B}|\cos{\theta}$ に上記の条件を代入すると $...
<tex>
\bm{A} \cdot \bm{B}=0
</tex>
という条件を考えればいい事になります。
代数的な側面においては内積を具体的に成分で書き下して
<tex>
\bm{A}\cdot\bm{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=0
</tex>
という条件で考えます。 [*]_
.. image:: yassan-RestudyVector03-fig4.png
蛇足:直交条件を外積で表すと…
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトルの外積 $\bm{A}\times\bm{B}$ にも角度の部分があ...
代入すると $|\bm{A}||\bm{B}|$ という結果が得られますが、
<tex>
&|\bm{a}\times\bm{b}|=|\bm{A}||\bm{B}| \\
\Longleftrightarrow
&
\sqrt{(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_zb_x-a_xb_z)^2+(a_xb_y-a_yb_z)...
=
\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}
</tex>
となるだけで変数が左右にばらばらに散らばっちゃって使い物...
因みにこれを両辺平方して $\sqrt{}$ を外すして整理すると
<tex>
a_x^2b_x^2+a_y^2b_y^2+a_z^2b_z^2=-2(a_yb_za_zb_y+a_zb_xa_...
</tex>
となりますが、これを移項したものは内積の直交条件で導いた...
かなり計算した割には結局ほぼ同じ式を計算していたわけです...
内積を計算した方が 楽… ですね。
.. [*]
「直角だから内積が0」というのは純粋な数学的には誤りです。
空間に浮かぶ幾何学的なもの(矢印を含みます)を天下り的に認...
数学的には「空間」という言葉は抽象化されていて、日常用語の...
数学的には「ベクトル空間である」→「内積が定義できる(内積空...
ここで議論している空間は基本的に3次元ユークリッド空間に...
数学で扱うような一般の空間とは違うということと、議論の順...
5.付録:ベクトルの外積の直交性とその大きさの確認
---------------------------------------------------------...
もう一度ベクトル2では外積ベクトルを天下り的に「こうなりま...
直交性を確認したついでにその大きさが2ベクトルにより作ら...
いるか確認してしまいましょう
外積で作られるベクトルはもとの2つベクトルに直交している...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
<tex>
\bm{c}\equiv\bm{a}\times\bm{b}
</tex>
とすると「 もう一度ベクトル2_ 」から $\bm{c}$ は $\bm{a}$ ...
使って
<tex>
\bm{c}
=
\begin{pmatrix}
a_yb_z-a_zb_y \\
a_zb_x-a_xb_z \\
a_xb_y-a_yb_x
\end{pmatrix}
</tex>
と書けます。ここで、 $\bm{a}$ と $\bm{c}$ の内積をとりま...
内積は各成分ごとの和を取ればよかったので
<tex>
\bm{a}\cdot\bm{c}
=
&a_x(a_yb_z-a_zb_y)+a_y(a_zb_x-a_xb_z)+a_z(a_xb_y-a_yb_x)...
=
&a_xa_yb_z-a_xa_zb_y+a_ya_zb_x-a_ya_xb_z+a_za_xb_y-a_za_y...
=
&a_xa_yb_z-a_ya_xb_z-a_xa_zb_y+a_za_xb_y+a_ya_zb_x-a_za_y...
=
&0
</tex>
となりました。内積が $0$ なので直交することになります。
当然 $\bm{b}$ に対しても全く同様の計算を行うことにより、...
確認できます。
実はここで、 $\bm{a}\times\bm{b}=-\bm{b}\times\bm{a}$ に...
<tex>
-\bm{c}
=
\begin{pmatrix}
b_ya_z-b_za_y \\
b_za_x-b_xa_z \\
b_xa_y-b_ya_x
\end{pmatrix}
</tex>
となり、直交性を示したいだけならばその向き(≠方向)には興味...
がついて逆を向いていても問題はないはずですね!?つまり
<tex>
&\bm{b}\cdot(-\bm{c})=0 \\
\Longleftrightarrow
&\bm{b}\cdot\bm{c}=0
</tex>
ということです
そこで $\bm{b}$ と" $-\bm{c}$ "の内積を考えます。その成分...
みると $\bm{a}$ と $\bm{c}$ の内積のそれと対応が全く一致...
したがって全く同じ計算により内積が $0$ になることが言える...
ことがいえます. [*]_
.. [*]
「何をまどろっこしいことを」と思った方もいると思います。確...
代入して計算をしたほうが早いのですが、数学の定理を証明す...
ことが目に見えたりしている場合別の定理を利用したりこのよ...
をしたりします。正直なところ、人に聞くと「ズルイ」と思いま...
数学者の仲間入りをした気になってしまいます。(あくまでも...
外積で作られるベクトルの大きさははもとの2つのベクトルが...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
「 もう一度ベクトル2_ 」では $\bm{a}\times\bm{b}$ の
大きさは $|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$ と定義しました。...
に表してその値が一致することを見てみましょう。
このベクトルの大きさの中で $\sin{\theta}$ という量に注目...
三角関数には $\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$ という恒等...
して $|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta}$ を書き換えると
<tex>
&|\bm{a}||\bm{b}|\sin{\theta} \\
=
&|\bm{a}||\bm{b}|\sqrt{1-\cos^2{\theta}}
\ \ (\because \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1, 0<\theta<...
</tex>
ここで内積の図形的な定義である $\bm{a}\cdot\bm{b}=|\bm{a}...
を $\cos{\theta}$ についてといて代入すると
<tex>
&|\bm{a}||\bm{b}|\sqrt{1-\cos^2{\theta}} \\
=
&|\bm{a}||\bm{b}|\sqrt{1-(\frac{\bm{a}\cdot\bm{b}}{|\bm{a...
=
&|\bm{a}||\bm{b}|\sqrt{\frac{|\bm{a}|^2|\bm{b}|^2-(\bm{a}...
=
&\sqrt{|\bm{a}||\bm{b}|^2\frac{|\bm{a}|^2|\bm{b}|^2-(\bm{...
=
&\sqrt{|\bm{a}|^2|\bm{b}|^2-(\bm{a}\cdot\bm{b})^2}
</tex>
とかなりコンパクトになったのでここに具体的な成分を代入し...
まず $\sqrt{}$ の中身をばらすと
<tex>
&|\bm{a}|^2|\bm{b}|^2-(\bm{a}\cdot\bm{b})^2 \\
=
&(a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b_x^2+b_y^2+b_z^2)-(a_xb_x+a_yb_y+a_...
=
&a_x^2b_y^2+a_x^2b_z^2+a_y^2b_x^2+a_y^2b_z^2+a_z^2b_x^2+a...
=
&(a_x^2b_y^2-2a_xa_yb_xb_y+a_y^2b_x^2)+(a_x^2b_z^2-2a_za_...
=
&(a_xb_y-a_yb_x)^2+(a_xb_z-a_zb_x)^2+(a_yb_z-a_zb_y)^2 \\
=
&(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_zb_x-a_xb_z)^2+(a_xb_y-a_yb_x)^2
</tex>
となりました。一方 $\bm{a}\times\bm{b}$ のほうは
<tex>
\bm{a}\times\bm{b}
=
\begin{pmatrix}
a_yb_z-a_zb_y \\
a_zb_x-a_xb_z \\
a_xb_y-a_yb_x
\end{pmatrix}
</tex>
と表せるのでその大きさは
<tex>
|\bm{a}\times\bm{b}|
=
\sqrt{(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_zb_x-a_xb_z)^2+(a_xb_y-a_yb_x)...
</tex>
と成分を用いてかけるはずですがこれは先ほどの計算の $\sqrt...
しています。つまりベクトルの大きさは $|\bm{a}||\bm{b}|\si...
等しいことがわかりました。
.. [*]
この値を $2$ で割ったものは二つのベクトルで作られる三角...
事から受験生などは覚えておくと便利です。正四面体の体積へ...
かもしれません
6.まとめ
-----------
以上で求めたベクトルの式を眺めてみるとほとんどのものが...
物理的には、重心の位置ベクトルが内分点を表すベクトルで表...
以下に、このセクションの公式とその使い方・特徴を簡単にま...
- 点 $A(\bm{a})$ から点 $B(\bm{b})$ へ向かうベクトル $\ov...
<tex>
\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrigh...
=
\bm{b}-\bm{a}
</tex>
非常に基本的な公式です。和や差と同じくらい頻繁に出てきま...
- 点 $A(\bm{a})$ と点 $B(\bm{b})$ を $m:n$ に内分するベク...
<tex>
\bm{r}
=
&\frac{n}{m+n}\bm{a}+\frac{m}{m+n}\bm{b} \\
\stackrel{\mathrm{or}}{=}
&\ \frac{n\bm{a}+m\bm{b}}{m+n}\bm{a}
</tex>
高校なんかの定期テストや、私大入試の小問なんかでよくでま...
「与えられた式を変形して適当な置換を行うとこの形になるから...
- 絶対値の公式
<tex>
|\overrightarrow{\rm AB}|^2=|\bm{B}-\bm{A}|^2
=|\bm{B}|^2-2\bm{B}\cdot\bm{A}+|\bm{A}|^2
</tex>
2つのベクトルの相互関係を求めたり、内積を積極的にとるこ...
- 2つのベクトルの直交条件
<tex>
\bm{A}\cdot\bm{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=0
</tex>
文字通り直交条件に用いることが大半。右辺が $"0"$ というか...
.. _もう一度ベクトル2: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
@@author: やっさん@@
@@accept: 2005-09-28@@
@@category: ベクトル解析@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id: restudyVector3@@
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