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とある外微分の公式
=========================================================...
この記事では、参考文献『理論物理学のための幾何学とトポロ...
短い記事です。
公式
=============
公式とは、 $X=X^\mu \dfrac{\partial}{\partial x^\mu},Y=Y^...
<tex>
d \omega(X,Y) = X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega([X,Y]) \...
</tex>
というものです。参考文献には $d \omega([X,Y])$ とあります...
さらに勘違いしやすい点として、スカラー $f$ に対して、 $X[...
公式の証明
================
まず、与式の左辺は、
<tex>
d \omega(X,Y) &= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( dx^...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( dx^...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\...
\tag{##}
</tex>
となります。
また、与式の右辺は、
<tex>
X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega([X,Y])
&= X^\nu \partial_\nu(\omega_\mu Y^\mu) - Y^\nu \partial_...
&= X^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) Y^\mu + X^\nu \omega_\...
&- \omega_\lambda \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu...
&= X^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) Y^\mu + X^\nu \omega_\...
&- \omega_\mu \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu \pa...
&= X^\nu \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} Y^\m...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\...
\tag{##}
</tex>
よって、両辺は一致しました。これで式 $(1)$ が示せました。
今日はここまで、お疲れさまでした。
@@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-18@@
@@category:微分・位相幾何@@
@@id:formulaOfExteriorDerivative@@
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とある外微分の公式
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この記事では、参考文献『理論物理学のための幾何学とトポロ...
短い記事です。
公式
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公式とは、 $X=X^\mu \dfrac{\partial}{\partial x^\mu},Y=Y^...
<tex>
d \omega(X,Y) = X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega([X,Y]) \...
</tex>
というものです。参考文献には $d \omega([X,Y])$ とあります...
さらに勘違いしやすい点として、スカラー $f$ に対して、 $X[...
公式の証明
================
まず、与式の左辺は、
<tex>
d \omega(X,Y) &= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( dx^...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( dx^...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\...
\tag{##}
</tex>
となります。
また、与式の右辺は、
<tex>
X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega([X,Y])
&= X^\nu \partial_\nu(\omega_\mu Y^\mu) - Y^\nu \partial_...
&= X^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) Y^\mu + X^\nu \omega_\...
&- \omega_\lambda \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu...
&= X^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) Y^\mu + X^\nu \omega_\...
&- \omega_\mu \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu \pa...
&= X^\nu \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} Y^\m...
&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\...
\tag{##}
</tex>
よって、両辺は一致しました。これで式 $(1)$ が示せました。
今日はここまで、お疲れさまでした。
@@reference: 中原幹夫 佐久間一浩,理論物理学のための幾何学...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-18@@
@@category:微分・位相幾何@@
@@id:formulaOfExteriorDerivative@@
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