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#rst2hooktail_source
===============================
うなり
===============================
高校の物理で波動の分野を勉強したとき、うなりという現象に...
ここでは音波を例にとって説明します。実際にうなりを聴くこ...
-------------------------------
うなりとは
-------------------------------
うなりとは、音の高さがわずかに異なる二つの音が鳴っている...
このとき二つの音は、ひとつの音の強弱が変化しているように...
二つの音の高さがある程度まで離れると、両者は一つの音の強...
二つの音波の振動数がそれぞれ $f_1$ と $f_2$ で、振幅と位...
<tex>
s(t) = A \sin ( 2\pi f_1 t) + A \sin ( 2\pi f_2 t)
\tag{#def(eq1)}
</tex>
となります。
(#ref(eq1))式を三角関数の 和積の公式_ を用いて展開、整理...
<tex>
s(t) & = 2A \cos \left( 2\pi \frac{f_1-f_2}{2} t \right)
\sin \left( 2\pi \frac{f_1+f_2}{2} t \right)\\
& = 2A \cos \left( 2\pi \frac{f_{\rm beat}}{2} t\rig...
\sin \left( 2\pi \bar{f} t \right)
\tag{#def(eq2)}
</tex>
ここで $|f_1 - f_2| \equiv f_{\rm beat}$ 、 $(f_1+f_2)/2 ...
$f_{\rm beat}$ は $\cos$ の中身なので、 $f_1 - f_2$ の正...
したがって、ここでは $f_1$ と $f_2$ の差の絶対値を $f_{\r...
この (#ref(eq2)) 式は $f_{\rm beat} \ll \bar{f}$ であると...
$f_1 = 400 \ {\rm Hz}$ 、 $f_2 = 410 \ {\rm Hz}$ として (...
.. image:: co-beating01.png
青線が $\bar{f} = 400 \ {\rm Hz} + 410 \ {\rm Hz} = 405 \...
赤線が $\frac{f_{\rm beat}}{2} = \frac{|400 \ {\rm Hz} - ...
さて、我々が音の大きさを感じるときには $s(t)$ を直接に感...
我々は振幅の二乗に比例した音の大きさを感じます。
したがって $s^2(t)$ を計算してやります。
<tex>
s^2(t) & = 4 A^2 \cos^2 \left( 2\pi \frac{f_{\rm beat}}{2...
\sin^2 \left( 2 \pi \bar{f} t \right)\\
& = 2 A^2 \left( 1 + \cos (2\pi f_{\rm beat} t )\r...
\sin^2 (2 \pi \bar{f} t)\\
& = A_{\rm beat} \sin^2 ( 2 \pi \bar{f} t) \tag{#d...
</tex>
ここで $A_{\rm beat} \equiv 2 A^2 \left( 1 + \cos (2 \pi ...
式 (#ref(eq3)) を、先ほどの図と同じ条件でグラフに描くと次...
.. image:: co-beating02.png
たしかに振幅が $f_{\rm beat} = 10 \ \rm{Hz}$ で変化してい...
.. _和積の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/t...
.. _半角の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/t...
--------------------------------
うなりを聴いてみよう
--------------------------------
数式の上では分かった気がしますが、うなりとは実際にはどの...
次のアプレットでは、実際に二つの周波数の音を合成して聴く...
まず振動数を調整します。それから、スピーカの音量に注意し...
.. raw:: html
<applet archive="beating.jar" code="BeatingApplet.class...
--------------------------------
発展
--------------------------------
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
AM ラジオ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
いま、音波を例にとってうなりを解説しました。
うなりと同様な現象は、対象が波であれば起こります。
例えば AM ラジオは、数百-千数百キロヘルツという高周波の電...
先ほどの **うなり** もいわば振幅変調でしたね!
周波数 $F$ の電波を使って、周波数 $f$ の音を送りたい場合...
<tex>
E(t) = A \left( 1 + m \cos ( 2 \pi f t ) \right) \cos ( 2...
</tex>
.. [*] AM モノラル 放送の場合。
式 (#ref(eq2)) となんとなく似ていますね。(#ref(am1)) を次...
<tex>
E(t) & = A \cos ( 2\pi F t ) + m A \cos (2\pi f t) \cos (...
& = A \cos ( 2\pi F t )
+ \frac{m A}{2} \cos \left( 2\pi (F-f) t \right)
+ \frac{m A}{2} \cos \left( 2\pi (F+f) t \right) \...
</tex>
式 (#ref(am2)) の第一項を **搬送波** 、第二項を **上側帯...
搬送波の周波数 $F$ を $100 \ {\rm kHz}$ 、側帯波の周波数 ...
.. image:: co-beating03.png
______________
包絡線検波
______________
受信側では音声信号を取り出すために、ダイオードやコンデン...
ダイオードは正負のうち片側のうなりだけをとりだすため、コ...
こうすることで、下図の赤線のような $400 \ {\rm Hz}$ の音...
.. image:: co-beating04.png
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
弦楽器の調弦
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
.. image:: co-guitar.jpg
弦楽器を正確に調弦するために、うなりが利用されることがあ...
二つの弦で同じ音を出したとき、周波数が微妙にずれていると...
@@reference: www.aka.ne.jp/~deguchi/hobby/radio/synchro.p...
@@author: CO@@
@@accept: 2006-09-11@@
@@category: 波と振動@@
@@id: beating@@
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#rst2hooktail_source
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うなり
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高校の物理で波動の分野を勉強したとき、うなりという現象に...
ここでは音波を例にとって説明します。実際にうなりを聴くこ...
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うなりとは
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うなりとは、音の高さがわずかに異なる二つの音が鳴っている...
このとき二つの音は、ひとつの音の強弱が変化しているように...
二つの音の高さがある程度まで離れると、両者は一つの音の強...
二つの音波の振動数がそれぞれ $f_1$ と $f_2$ で、振幅と位...
<tex>
s(t) = A \sin ( 2\pi f_1 t) + A \sin ( 2\pi f_2 t)
\tag{#def(eq1)}
</tex>
となります。
(#ref(eq1))式を三角関数の 和積の公式_ を用いて展開、整理...
<tex>
s(t) & = 2A \cos \left( 2\pi \frac{f_1-f_2}{2} t \right)
\sin \left( 2\pi \frac{f_1+f_2}{2} t \right)\\
& = 2A \cos \left( 2\pi \frac{f_{\rm beat}}{2} t\rig...
\sin \left( 2\pi \bar{f} t \right)
\tag{#def(eq2)}
</tex>
ここで $|f_1 - f_2| \equiv f_{\rm beat}$ 、 $(f_1+f_2)/2 ...
$f_{\rm beat}$ は $\cos$ の中身なので、 $f_1 - f_2$ の正...
したがって、ここでは $f_1$ と $f_2$ の差の絶対値を $f_{\r...
この (#ref(eq2)) 式は $f_{\rm beat} \ll \bar{f}$ であると...
$f_1 = 400 \ {\rm Hz}$ 、 $f_2 = 410 \ {\rm Hz}$ として (...
.. image:: co-beating01.png
青線が $\bar{f} = 400 \ {\rm Hz} + 410 \ {\rm Hz} = 405 \...
赤線が $\frac{f_{\rm beat}}{2} = \frac{|400 \ {\rm Hz} - ...
さて、我々が音の大きさを感じるときには $s(t)$ を直接に感...
我々は振幅の二乗に比例した音の大きさを感じます。
したがって $s^2(t)$ を計算してやります。
<tex>
s^2(t) & = 4 A^2 \cos^2 \left( 2\pi \frac{f_{\rm beat}}{2...
\sin^2 \left( 2 \pi \bar{f} t \right)\\
& = 2 A^2 \left( 1 + \cos (2\pi f_{\rm beat} t )\r...
\sin^2 (2 \pi \bar{f} t)\\
& = A_{\rm beat} \sin^2 ( 2 \pi \bar{f} t) \tag{#d...
</tex>
ここで $A_{\rm beat} \equiv 2 A^2 \left( 1 + \cos (2 \pi ...
式 (#ref(eq3)) を、先ほどの図と同じ条件でグラフに描くと次...
.. image:: co-beating02.png
たしかに振幅が $f_{\rm beat} = 10 \ \rm{Hz}$ で変化してい...
.. _和積の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/t...
.. _半角の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/t...
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うなりを聴いてみよう
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数式の上では分かった気がしますが、うなりとは実際にはどの...
次のアプレットでは、実際に二つの周波数の音を合成して聴く...
まず振動数を調整します。それから、スピーカの音量に注意し...
.. raw:: html
<applet archive="beating.jar" code="BeatingApplet.class...
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発展
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AM ラジオ
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いま、音波を例にとってうなりを解説しました。
うなりと同様な現象は、対象が波であれば起こります。
例えば AM ラジオは、数百-千数百キロヘルツという高周波の電...
先ほどの **うなり** もいわば振幅変調でしたね!
周波数 $F$ の電波を使って、周波数 $f$ の音を送りたい場合...
<tex>
E(t) = A \left( 1 + m \cos ( 2 \pi f t ) \right) \cos ( 2...
</tex>
.. [*] AM モノラル 放送の場合。
式 (#ref(eq2)) となんとなく似ていますね。(#ref(am1)) を次...
<tex>
E(t) & = A \cos ( 2\pi F t ) + m A \cos (2\pi f t) \cos (...
& = A \cos ( 2\pi F t )
+ \frac{m A}{2} \cos \left( 2\pi (F-f) t \right)
+ \frac{m A}{2} \cos \left( 2\pi (F+f) t \right) \...
</tex>
式 (#ref(am2)) の第一項を **搬送波** 、第二項を **上側帯...
搬送波の周波数 $F$ を $100 \ {\rm kHz}$ 、側帯波の周波数 ...
.. image:: co-beating03.png
______________
包絡線検波
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受信側では音声信号を取り出すために、ダイオードやコンデン...
ダイオードは正負のうち片側のうなりだけをとりだすため、コ...
こうすることで、下図の赤線のような $400 \ {\rm Hz}$ の音...
.. image:: co-beating04.png
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弦楽器の調弦
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.. image:: co-guitar.jpg
弦楽器を正確に調弦するために、うなりが利用されることがあ...
二つの弦で同じ音を出したとき、周波数が微妙にずれていると...
@@reference: www.aka.ne.jp/~deguchi/hobby/radio/synchro.p...
@@author: CO@@
@@accept: 2006-09-11@@
@@category: 波と振動@@
@@id: beating@@
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物理のかぎプロジェクト
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