記事ソース/∫1/√(x^2+a^2)dxの計算
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∫1/√(x^2+a^2)dxの計算
=====================
この記事では、 $\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$ を求めま...
本(下に紹介しておきます)を読んでいたら、この積分は $\sq...
<tex>
\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\dfrac{x}{a}+C \t...
</tex>
を、虚数単位を用いて $x \to ix$ と置き換えたらいいのでは...
<tex>
\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a}+C \...
</tex>
です。右辺を $y=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a}$ と置き、微分すれ...
<tex>
y&=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a} \\
\sinh y &= \dfrac{e^y - e^{-y}}{2} = \dfrac{x}{a} \\
e^{2y} &- \dfrac{2x}{a}e^y -1 = 0 \\
e^y &= \dfrac{x}{a} \pm \sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}+1} \\
e^y &= \dfrac{x}{a} + \sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}+1} (\because...
y&= \log (x + \sqrt{x^2+a^2})-\log a \tag{##}
</tex>
であり、なんと、 $\sinh^{-1}\dfrac{x}{a} = \log (x + \sqr...
<tex>
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{x ...
&= \dfrac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{x + \sqrt{x^2+a^2...
&= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \tag{##}
</tex>
となりました。確かに $y$ の微分が被積分関数になっています...
まとめ
======
覚えやすいように、他の積分と比較できるようにまとめておき...
<tex>
\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx &= \sin^{-1} \dfrac{x}{a...
\int \dfrac{-1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx &= \cos^{-1} \dfrac{x}{...
\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx &=\dfrac{1}{a} \tan^{-1} \dfrac...
\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx &= \sinh^{-1} \dfrac{x}{...
\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx &= \cosh^{-1} \dfrac{x}{...
\int \dfrac{1}{a^2-x^2}dx &= \dfrac{1}{a}\tanh^{-1} \dfra...
</tex>
これを求める際、得られた等式は以下の様になります。双曲関...
<tex>
\sinh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \log(x+\sqrt{x^2+a^2}) - \log ...
\cosh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \log(x+\sqrt{x^2-a^2}) - \log ...
\tanh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \dfrac{1}{2} \log \dfrac{a+x}{...
</tex>
それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@reference: 金子晃監修 中島多加子・米山実希著,積分計算...
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-10-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:difOfSqrt(x^2+a^2)@@
終了行:
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∫1/√(x^2+a^2)dxの計算
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この記事では、 $\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$ を求めま...
本(下に紹介しておきます)を読んでいたら、この積分は $\sq...
<tex>
\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\dfrac{x}{a}+C \t...
</tex>
を、虚数単位を用いて $x \to ix$ と置き換えたらいいのでは...
<tex>
\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a}+C \...
</tex>
です。右辺を $y=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a}$ と置き、微分すれ...
<tex>
y&=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a} \\
\sinh y &= \dfrac{e^y - e^{-y}}{2} = \dfrac{x}{a} \\
e^{2y} &- \dfrac{2x}{a}e^y -1 = 0 \\
e^y &= \dfrac{x}{a} \pm \sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}+1} \\
e^y &= \dfrac{x}{a} + \sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}+1} (\because...
y&= \log (x + \sqrt{x^2+a^2})-\log a \tag{##}
</tex>
であり、なんと、 $\sinh^{-1}\dfrac{x}{a} = \log (x + \sqr...
<tex>
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{x ...
&= \dfrac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{x + \sqrt{x^2+a^2...
&= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \tag{##}
</tex>
となりました。確かに $y$ の微分が被積分関数になっています...
まとめ
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覚えやすいように、他の積分と比較できるようにまとめておき...
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\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx &= \sin^{-1} \dfrac{x}{a...
\int \dfrac{-1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx &= \cos^{-1} \dfrac{x}{...
\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx &=\dfrac{1}{a} \tan^{-1} \dfrac...
\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx &= \sinh^{-1} \dfrac{x}{...
\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx &= \cosh^{-1} \dfrac{x}{...
\int \dfrac{1}{a^2-x^2}dx &= \dfrac{1}{a}\tanh^{-1} \dfra...
</tex>
これを求める際、得られた等式は以下の様になります。双曲関...
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\sinh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \log(x+\sqrt{x^2+a^2}) - \log ...
\cosh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \log(x+\sqrt{x^2-a^2}) - \log ...
\tanh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \dfrac{1}{2} \log \dfrac{a+x}{...
</tex>
それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@reference: 金子晃監修 中島多加子・米山実希著,積分計算...
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-10-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:difOfSqrt(x^2+a^2)@@
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