改定案/サイクロイド振り子(CO著)/記事ソース
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=================================
サイクロイド振り子
=================================
ここではサイクロイド振り子について紹介します。
サイクロイド振り子がどのような特徴を持つのか、その周期は...
そして、類似の物理をもつサイクロイド軌道上の運動について...
---------------------------
サイクロイド振り子とは
---------------------------
図のように、二つのサイクロイドのあいだに挟まれた振り子を...
サイクロイドを描いた円の半径を $a$ とするとき、振り子のヒ...
図でいうと青い線が振り子の軌道です。
.. image:: co-cycloidpendulum-fig02.gif
このとき、この振り子をサイクロイド振り子と呼びます。
この振り子を研究した研究者の名前をとって、「ホイヘンス振...
--------------------------------
サイクロイド振り子の等時性
--------------------------------
単振り子の場合には、その周期は 楕円積分_ で表されました。...
.. _楕円積分: ../../mathInPhys/elliptical/index.html
<tex>
T(\theta_{\text{max}}) = 2\pi \sqrt {l\over g} \ \Bigl\{ ...
</tex>
振り子を時計代わりに使う場合、徐々に振幅は減衰していきま...
サイクロイド振り子はこの点で優れています。振り子の周期が...
実際に触れる様子はつぎの Java Applet のようになります。
サイクロイド振り子の周期はその振幅によらないことが確認で...
.. raw:: html
<applet width="400" height="300" code="jp/maxwell/apple...
---------------------------------
サイクロイド振り子の周期
---------------------------------
本当にサイクロイド振り子の周期は振幅に依らないのか、その...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解析力学を使う
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ここでは解析力学から得られる結果を使います。
その方が計算が簡単になるのと、周期が振幅によらないことが...
力学から周期を求めることも可能で、あとで示します。
まず、系のラグランジアンを求めます。ここではラグランジア...
.. image:: co-cycloidpendulum-fig03.png
上図の振り子がとるサイクロイド軌道は、 サイクロイド_ の(1...
<tex>
x & = a( \theta - \sin \theta) - a \pi \tag{1}\\
y & = - a( 1 - \cos \theta) \tag{2}
</tex>
と表されます。ただし $ 0 \leq \theta \leq 2\pi $ です。 [...
.. _サイクロイド: ../../mathInPhys/cycloid/index.html
.. [*] 上の図に合わせるために、 $x$ 軸対称に反転し、 $x$...
それぞれを時間微分すると
<tex>
\dot{x} & = a \dot{\theta} ( 1 - \cos \theta) \tag{3} \\
\dot{y} & = - a \dot{\theta} \sin \theta \tag{4}
</tex>
となります。
運動エネルギー $T$ は (3),(4)式より
<tex>
T & = \frac{1}{2} m ( {\dot{x}}^2 + {\dot{y}}^2 )\\
& = m a^2 {\dot{\theta}}^2 ( 1 - \cos \theta)\\
& = 2ma^2 {\dot{\theta}}^2 \sin^2 \frac{\theta}{2}\\
& = \frac{1}{2} m \left( 2a{\dot{\theta}} \sin \frac{\t...
</tex>
です。2行目から3行目の変形には三角関数の半角の公式 $\cos ...
ポテンシャルエネルギー $V$ は
<tex>
V & = mgy\\
& = - m g a ( 1 - \cos \theta)\\
& = - 2 m g a \left( 1 - \cos^2 \frac{\theta}{2} \right...
& = \frac{mg}{8a}\left( 4a \cos \frac{\theta}{2} \right...
</tex>
となります。ここでも先ほど用いた半角の公式を使用しました。
ここで $q = 4a \cos \frac{\theta}{2}$ という変数変換をし...
すると $\dot{q} = - 2a \dot{\theta} \sin \frac{\theta}{2...
<tex>
L = T - V = \frac{1}{2}m {\dot{q}}^2 - \frac{mg}{8a} q^2...
</tex>
これより、オイラー・ラグランジュの方程式から、ニュートン...
<tex>
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \...
\Rightarrow m \ddot{q} + \frac{mg}{4a}q = 0 \\
\Leftrightarrow \ddot{q} = - \frac{g}{4a}q \tag{8}
</tex>
となります。(8)式は $q$ に関する単振動の方程式です。つま...
<tex>
T = 2 \pi \sqrt{\frac{4a}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} ...
</tex>
の運動をすることになります。
ここでサイクロイド振り子のヒモの長さ $l$ が $l = 4a$ であ...
注意してほしいのは (9)式に初期位置に関する情報が含まれて...
つまりこの結果はサイクロイド振り子の周期が振幅によらない...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
力学から計算する
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解析力学からの周期の求め方は、なんだか狐につままれたよう...
なので、道筋としてはいたってシンプルな力学からの計算法も...
まずエネルギー保存則を考えます。
<tex>
T + V = \text{const.}\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}m v^2 + mgy = mgy_0 \tag{10}
</tex>
ここで $y_0$ は振り子の初期位置の $y$ 座標です。 $T$, $V$...
<tex>
a {\dot{\theta}}^2(1-\cos\theta) = g( \cos \theta_0 - \co...
\rightarrow {\dot{\theta}}^2 & = \frac{g}{a} \frac{ \cos...
{\dot{\theta}} & = \pm \sqrt{ \frac{g}{a}} \left( \frac{ ...
dt & = \pm \sqrt{ \frac{a}{g}} \sqrt{ \frac{ 1 - \cos \th...
</tex>
となります。これを積分すれば1周期にかかる時間が求まります。
楕円積分_ のところでもやったように、 $\theta = 0$ から $\...
したがって、周期 $T$ は (11) 式より次のように書かれます。
<tex>
T & = 4 \sqrt{ \frac{a}{g}} \int_{\theta_0}^{\pi} \sqrt{ ...
</tex>
ここで三角関数の半角の公式、 $\cos \theta = 2 \cos^2 \fra...
<tex>
\sin \frac{x}{2} & = \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} \\
\cos \frac{x}{2} & = \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}
</tex>
を用いて (12)式を整理すると
<tex>
T & = 4 \sqrt{ \frac{a}{g}} \int_{\theta_0}^{\pi} \frac{ ...
</tex>
となります。
ここで変数変換 $u = \frac{ \cos \frac{1}{2} \theta}{\cos ...
$du = - \frac{\sin \frac{\theta}{2} \ d\theta}{2 \cos \fr...
<tex>
T & = - 8 \sqrt{ \frac{a}{g}} \int_1^0 \frac{du}{\sqrt{1-...
& = 8 \sqrt{ \frac{a}{g}} \left[ \arcsin u \right]_0^1\\
& = 4 \pi \sqrt{ \frac{a}{g}}\\
& = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}} \tag{14}
</tex>
となります。これは 解析力学から求めた値 (9)式と一致してい...
(14)式は $\theta_0$ に依らないので、やはり振幅に依存しな...
---------------------------------
サイクロイド軌道
---------------------------------
サイクロイド振り子に似た物理をもつものに一定重力下でのサ...
サイクロイド軌道をつくるとどのような特徴が現れるかを見て...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
等時性ふたたび
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
一定の重力が働く環境でサイクロイド軌道をつくります。その...
次の Java Applet のように、かならず最下点でぶつかることに...
.. raw:: html
<applet width="400" height="300" code="jp/maxwell/apple...
その理由を考えてみましょう。サイクロイド振り子も、サイク...
「サイクロイド振り子の周期」の解析力学のところの計算は、...
したがってサイクロイド軌道でもサイクロイド振り子と同じ結...
@@author: CO@@
@@accept: 2005-03-14@@
@@category: 力学@@
@@reference: 大貫義郎, 解析力学, 岩波書店, 1987, 25-27, 4...
@@reference: mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.htm...
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#rst2hooktail_source
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サイクロイド振り子
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ここではサイクロイド振り子について紹介します。
サイクロイド振り子がどのような特徴を持つのか、その周期は...
そして、類似の物理をもつサイクロイド軌道上の運動について...
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サイクロイド振り子とは
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図のように、二つのサイクロイドのあいだに挟まれた振り子を...
サイクロイドを描いた円の半径を $a$ とするとき、振り子のヒ...
図でいうと青い線が振り子の軌道です。
.. image:: co-cycloidpendulum-fig02.gif
このとき、この振り子をサイクロイド振り子と呼びます。
この振り子を研究した研究者の名前をとって、「ホイヘンス振...
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サイクロイド振り子の等時性
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単振り子の場合には、その周期は 楕円積分_ で表されました。...
.. _楕円積分: ../../mathInPhys/elliptical/index.html
<tex>
T(\theta_{\text{max}}) = 2\pi \sqrt {l\over g} \ \Bigl\{ ...
</tex>
振り子を時計代わりに使う場合、徐々に振幅は減衰していきま...
サイクロイド振り子はこの点で優れています。振り子の周期が...
実際に触れる様子はつぎの Java Applet のようになります。
サイクロイド振り子の周期はその振幅によらないことが確認で...
.. raw:: html
<applet width="400" height="300" code="jp/maxwell/apple...
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サイクロイド振り子の周期
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本当にサイクロイド振り子の周期は振幅に依らないのか、その...
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解析力学を使う
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ここでは解析力学から得られる結果を使います。
その方が計算が簡単になるのと、周期が振幅によらないことが...
力学から周期を求めることも可能で、あとで示します。
まず、系のラグランジアンを求めます。ここではラグランジア...
.. image:: co-cycloidpendulum-fig03.png
上図の振り子がとるサイクロイド軌道は、 サイクロイド_ の(1...
<tex>
x & = a( \theta - \sin \theta) - a \pi \tag{1}\\
y & = - a( 1 - \cos \theta) \tag{2}
</tex>
と表されます。ただし $ 0 \leq \theta \leq 2\pi $ です。 [...
.. _サイクロイド: ../../mathInPhys/cycloid/index.html
.. [*] 上の図に合わせるために、 $x$ 軸対称に反転し、 $x$...
それぞれを時間微分すると
<tex>
\dot{x} & = a \dot{\theta} ( 1 - \cos \theta) \tag{3} \\
\dot{y} & = - a \dot{\theta} \sin \theta \tag{4}
</tex>
となります。
運動エネルギー $T$ は (3),(4)式より
<tex>
T & = \frac{1}{2} m ( {\dot{x}}^2 + {\dot{y}}^2 )\\
& = m a^2 {\dot{\theta}}^2 ( 1 - \cos \theta)\\
& = 2ma^2 {\dot{\theta}}^2 \sin^2 \frac{\theta}{2}\\
& = \frac{1}{2} m \left( 2a{\dot{\theta}} \sin \frac{\t...
</tex>
です。2行目から3行目の変形には三角関数の半角の公式 $\cos ...
ポテンシャルエネルギー $V$ は
<tex>
V & = mgy\\
& = - m g a ( 1 - \cos \theta)\\
& = - 2 m g a \left( 1 - \cos^2 \frac{\theta}{2} \right...
& = \frac{mg}{8a}\left( 4a \cos \frac{\theta}{2} \right...
</tex>
となります。ここでも先ほど用いた半角の公式を使用しました。
ここで $q = 4a \cos \frac{\theta}{2}$ という変数変換をし...
すると $\dot{q} = - 2a \dot{\theta} \sin \frac{\theta}{2...
<tex>
L = T - V = \frac{1}{2}m {\dot{q}}^2 - \frac{mg}{8a} q^2...
</tex>
これより、オイラー・ラグランジュの方程式から、ニュートン...
<tex>
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \...
\Rightarrow m \ddot{q} + \frac{mg}{4a}q = 0 \\
\Leftrightarrow \ddot{q} = - \frac{g}{4a}q \tag{8}
</tex>
となります。(8)式は $q$ に関する単振動の方程式です。つま...
<tex>
T = 2 \pi \sqrt{\frac{4a}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} ...
</tex>
の運動をすることになります。
ここでサイクロイド振り子のヒモの長さ $l$ が $l = 4a$ であ...
注意してほしいのは (9)式に初期位置に関する情報が含まれて...
つまりこの結果はサイクロイド振り子の周期が振幅によらない...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
力学から計算する
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解析力学からの周期の求め方は、なんだか狐につままれたよう...
なので、道筋としてはいたってシンプルな力学からの計算法も...
まずエネルギー保存則を考えます。
<tex>
T + V = \text{const.}\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}m v^2 + mgy = mgy_0 \tag{10}
</tex>
ここで $y_0$ は振り子の初期位置の $y$ 座標です。 $T$, $V$...
<tex>
a {\dot{\theta}}^2(1-\cos\theta) = g( \cos \theta_0 - \co...
\rightarrow {\dot{\theta}}^2 & = \frac{g}{a} \frac{ \cos...
{\dot{\theta}} & = \pm \sqrt{ \frac{g}{a}} \left( \frac{ ...
dt & = \pm \sqrt{ \frac{a}{g}} \sqrt{ \frac{ 1 - \cos \th...
</tex>
となります。これを積分すれば1周期にかかる時間が求まります。
楕円積分_ のところでもやったように、 $\theta = 0$ から $\...
したがって、周期 $T$ は (11) 式より次のように書かれます。
<tex>
T & = 4 \sqrt{ \frac{a}{g}} \int_{\theta_0}^{\pi} \sqrt{ ...
</tex>
ここで三角関数の半角の公式、 $\cos \theta = 2 \cos^2 \fra...
<tex>
\sin \frac{x}{2} & = \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} \\
\cos \frac{x}{2} & = \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}
</tex>
を用いて (12)式を整理すると
<tex>
T & = 4 \sqrt{ \frac{a}{g}} \int_{\theta_0}^{\pi} \frac{ ...
</tex>
となります。
ここで変数変換 $u = \frac{ \cos \frac{1}{2} \theta}{\cos ...
$du = - \frac{\sin \frac{\theta}{2} \ d\theta}{2 \cos \fr...
<tex>
T & = - 8 \sqrt{ \frac{a}{g}} \int_1^0 \frac{du}{\sqrt{1-...
& = 8 \sqrt{ \frac{a}{g}} \left[ \arcsin u \right]_0^1\\
& = 4 \pi \sqrt{ \frac{a}{g}}\\
& = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}} \tag{14}
</tex>
となります。これは 解析力学から求めた値 (9)式と一致してい...
(14)式は $\theta_0$ に依らないので、やはり振幅に依存しな...
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サイクロイド軌道
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サイクロイド振り子に似た物理をもつものに一定重力下でのサ...
サイクロイド軌道をつくるとどのような特徴が現れるかを見て...
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等時性ふたたび
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一定の重力が働く環境でサイクロイド軌道をつくります。その...
次の Java Applet のように、かならず最下点でぶつかることに...
.. raw:: html
<applet width="400" height="300" code="jp/maxwell/apple...
その理由を考えてみましょう。サイクロイド振り子も、サイク...
「サイクロイド振り子の周期」の解析力学のところの計算は、...
したがってサイクロイド軌道でもサイクロイド振り子と同じ結...
@@author: CO@@
@@accept: 2005-03-14@@
@@category: 力学@@
@@reference: 大貫義郎, 解析力学, 岩波書店, 1987, 25-27, 4...
@@reference: mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.htm...
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