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定数係数1階線形微分方程式
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微分方程式というのは,その名の通り方程式に微分が入っている,
つまり導関数が入っている方程式のことです.
いろいろな形( 変数分離形_ など)があるのですが,ここではつぎのようなものを学びます.
$a$ を定数, $Q(x)$ をある連続な関数とするとき,
$x$ の関数である未知関数 $y$ と,その導関数 $dy/dx$ に関して1次式である,
\frac{dy}{dx}+ay=Q(x) \tag{1}
のうな形で表される微分方程式です.
これを,定数係数1階線形微分方程式といいます.
この形の微分方程式について,これからお話します
(え,なぜかって?そりゃあ,よく使うからですよ♪).
定数係数1階線形微分方程式の解の公式
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いきなりですが,いま考えている微分方程式の解の公式を示します.式 (1)
\frac{dy}{dx}+ay=Q(x)
の一般解は
y=e^{-ax}\left\{\int e^{ax}Q(x)\,dx + C\right\} \tag{2}
で与えられます.ここで $C$ は任意定数です.
未知関数 $y$ についての微分方程式を「解く」とは,
おおざっぱに言うと $y=$ の形に持って行く,ということです.
ですから,式 (1) が式 (2) に変形できることが分かっていれば,
これはもう,いつでも解けるわけです.
といっても,こんな公式を丸暗記していたら大変です.
手順を理解し,いつでも導出できるようにすることが重要です.
導出
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ではここで,式 (2) を導出してみます.
まず,積分を簡単にするために式 (1) の左辺
\frac{dy}{dx}+ay
を
\frac{d}{dx}F(x)
のような,「ある一つの関数 $F(x)$ の微分」の形に変形することを考えます.
そのために,式 (1) の両辺に $e^{ax}$ をかけますと
e^{ax}\frac{dy}{dx}+ae^{ax}y=e^{ax}Q(x)
となります.ここで, $e^{ax}$ の微分が $ae^{ax}$ となる性質を思い出します.
すなわち上式は
e^{ax}\frac{dy}{dx}+\left(\frac{d}{dx}e^{ax}\right)y=e^{ax}Q(x) \tag{3}
と変形できることになります.ここまで,よろしいでしょうか.
さらにもう一つ,積の微分公式
\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}
を式 (3) の左辺に適用します.すると
e^{ax}\frac{dy}{dx}+\left(\frac{d}{dx}e^{ax}\right)y=\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)
がいえます.これは最初目指していた形です.ですから結局,式 (3) は
\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)=e^{ax}Q(x)
という形になるのです.ここまでくれば簡単,あとは両辺を $x$ で積分して
e^{ax}y=\int e^{ax}Q(x)\,dx+C \tag{4}
が得られます.ここで $C$ は任意定数です.
左辺を「ある一つの関数 $F(x)$ の微分」という形に
変形したかった理由は,このように両辺を一気に積分したかったからです.
この方法は一般的に良く使うテクニックですので,憶えていておいて損はないでしょう.
最後に,式 (4) の両辺に $e^{-ax}$ をかけますと,
y=e^{-ax}\left\{\int e^{ax}Q(x)\,dx + C\right\}
という,最初に示した式 (2) が得られるのです.
解の解釈
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補足です. $\frac{dy}{dx}+ay=Q(x)$ において $Q(x)=0$ の場合,すなわち
\frac{dy}{dx}+ay=0
の場合があります.これは同次方程式と呼ばれ, 変数分離形_ になります.
他方, $Q(x)\ne0$ の場合は非同次方程式と呼ばれます.
同次方程式の一般解 $Ce^{-ax}$ ( $Q(x)$ の形と独立な解)と,
非同次方程式の特殊解 $e^{-ax}\int e^{ax}Q(x)\,dx$ ( $Q(x)$ の形に依存する解)
の線形結合が,式 (2) の一般解になっています.
例題
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それでは,簡単な例題を示しておきます.
例題1
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つぎの定数係数1階線形微分方程式(長い名前だ…)
\frac{dy}{dx}+5y=6e^x
の一般解を求めます.まず,さきほどの導出の手順にしたがって,
両辺に $e^{5x}$ をかけます.すると
\frac{d}{dx}\left(e^{5x}y\right)=6e^{6x}
となります(ここで一気に積の微分公式による変形も行っています).
上式の両辺を $x$ で積分して
e^{5x}y=\int 6e^{6x}\,dx+C
となり( $C$ は任意定数),さらに両辺に $e^{-5x}$ をかけると
y&=e^{-5x}\left\{\int 6e^{6x}\,dx+C\right\}\\
&=e^{-5x}\left\{e^{6x}+C\right\}\\
&=e^x+Ce^{-5x}
という一般解を得ます.
例題2
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速さ $v$ に比例する抵抗が働くとき,質点の鉛直方向の運動方程式は
m\frac{dv}{dt}=-\kappa v+mg
と表せます.ここで $m$ を質点の質量, $g$ を重力加速度としています.
この運動方程式は 変数分離形_ として解くこともできますが,
定数係数1階線形微分方程式であるとも言えますので,これまでの方法で解いてみます.
式を少し変形して
\frac{dv}{dt}+\frac{\kappa v}{m}=g
両辺に $e^{\kappa t/m}$ をかけ,積の微分公式から整理すると
\frac{d}{dt}\left(e^{\kappa t/m}v\right)=ge^{\kappa t/m}
両辺を $t$ で積分して
e^{\kappa t/m}v=\int e^{\kappa t/m}g\,dt+C
を得,両辺に $e^{-\kappa t/m}$ をかけると
v&=e^{-\kappa t/m}\left\{\int e^{\kappa t/m}g\,dt+C\right\}\\
&=Ce^{-\kappa t/m}+\frac{mg}{\kappa}
という速度の一般解を得ます.ここで $C$ は任意定数です.
ちなみにこういった任意定数は,初期条件に依って決まります.
この例題について詳しくは, 抵抗力のある落下運動_ をご覧ください.
.. _変数分離形: http://www12.plala.or.jp/ksp/math/jobibun/hensubunri/
.. _抵抗力のある落下運動: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/resistdown/
@@author: おこめ・崎間@@
@@accept: 2004-12-??@@