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演算子の性質と交換関係
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量子力学にはなくてはならないものの1つが演算子です．その演算子について学びます．演算子とは，関数に作用させて演算を行うもので，量子力学では，さまざまな物理量が演算子で表されます．いきなり演算子と言われても、ぴんとこないと思いまが，例えば，位置を表す $x$ や，運動量を表す $p$ も演算子として扱うことになります．

演算子と数との違い
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ある数 $a, b$ がある時，

<tex>ab=ba</tex>

が成り立ちます．つまり，2つの数の積は交換します．しかし，ある演算子 $A, B$ がある時，一般には

<tex>AB\neq BA</tex>

であり，2つの演算子の積は交換しません．

演算子の交換関係とは
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そこで，演算子 $A, B$ に対して，

<tex>[A, B]=AB-BA</tex>

という量を定義します．これを演算子 $A, B$ の交換関係といいます．

<tex>[A, B]\neq 0</tex>

ならば，「演算子 $A, B$ は交換しない」といい，

<tex>[A, B]=0</tex>

ならば，「演算子 $A, B$ は交換する」といいます。

例
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冒頭で紹介した， $x$ と $p$ について，交換関係を計算してみます．量子力学では，（1次元の場合） $p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ とします．ここでは，分かりやすいように，この交換関係が後ろの $\phi(x)$ という関数に作用するとしてみましょう．さらに， $x$ や $p$ が演算子であることを強調するために， $\hat{x}, \hat{p}$ と書くことにします．

<tex>[\hat{x}, \hat{p}]\phi(x)&=\left[\hat{x}, -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right]\phi(x)=-i\hbar\left[\hat{x}, \frac{\partial}{\partial x}\right]\phi(x)\\
&=-i\hbar\left(\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}\right)\phi(x)=-i\hbar\left(x\frac{\partial \phi(x)}{\partial x}-\phi(x)-x\frac{\partial \phi(x)}{\partial x}\right)=i\hbar\phi(x)</tex>

となって，

<tex>[\hat{x}, \hat{p}]\phi(x)=i\hbar\phi(x)</tex>

つまり，

<tex>[\hat{x}, \hat{p}]=i\hbar</tex>

と求まります． $\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}$ をすぐに $1$ としてしまいがちですが， $\frac{\partial}{\partial x}$ は後ろの $\phi(x)$ にもかかっていますので，上記のような計算結果となります．

問
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演算子 $A, B, C$ があるとき，交換関係について，以下の式が成り立つことを示しなさい．

<tex>[A, BC]=[A, B]C+B[A, C]</tex>

<tex>[AB, C]=A[B, C]+[A, C]B</tex>

@@author: tomo@@
@@accept: 2004-12-15@@