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ニュートンの第2法則で第1法則を説明しよう
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慣性の法則とはニュートンの第１法則とも呼ばれます。この法則、考えてみればなかなか面白い性質です。
なぜかは分かりませんがどんな運動でも同等というわけではなく、物質は力が働かないときは等速でしかも直線に運動しようというのです。
決してすこしカーブしたりはしません。力が働いていない事から、この性質はもとから物質が持っている性質だと解釈されます。
今回は運動方程式を使ってこのことを説明したいと思います。どうしてそんなことができるのかと疑問に思われるかもしれませんが、
第１法則は運動方程式（第２法則）に含まれています。ただ少し見やすくするためにベクトルの成分を選ばなければならないというだけです。

運動方程式（第2法則）
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第2法則で第1法則を説明するのためには、運動方程式を接線方向と法線方向に分けて書くのが一番分かりやすいです。
まず、ニュートンの運動方程式はベクトルで次のように書かれます。
<tex>
&\bm{r} = \bm{r}(t)                \tag{1}\\
&m \frac{d^2 \bm{r}}{dt^2} = \bm{F} \tag{2}
</tex>
補足しておきますと、 $\bm{r}$ は位置ベクトル、 $\bm{F}$ は力、 $m$ は慣性質量です。ここで速度 ${\bm{v}(t)}$ を
<tex>
\dot{\bm{r}} &\equiv \bm{v}  =|\bm{v}| \bm{e}_t =  \frac{ds}{dt} \bm{e}_t \\
             &= |\bm{v}| \left( \frac{dx}{ds} \bm{e}_{x} + \frac{dy}{ds} \bm{e}_{y} + \frac{dz}{ds} \bm{e}_{z} \right) \tag{3}
</tex>
と定義しておきます。 ${\bm{e}_{t}}$ とは経路 $s$ に対する接線ベクトルです。
すると、運動方程式 $\tag{19}$ は次のように書き換えることができます。
<tex>
m \frac{d \bm{v}}{dt} &= m \frac{d |\bm{v}|\bm{e}_t }{dt}\\
                      &= m \dot{|\bm{v}|} \bm{e}_t + m |\bm{v}| \dot{\bm{e}_t}\\
                      &= \bm{F} \tag{4}
</tex>
ここで微小時間 $dt$ の間に接線ベクトルの角度が ${d\phi}$ だけ変化したとします。
すると ${d\bm{e}_t}$ の大きさは ${d\phi}$ なので ${d\bm{e}_{t}}$ の向きの単位ベクトル ${\bm{e}_{n}}$ は次のように書けます。
<tex>
\bm{e}_n = \frac{d \bm{e}_t }{d \phi}
</tex>
このベクトルは経路に対して法線方向を向きます。つまり ${\bm{e}_t}$ と ${\bm{e}_n}$ は垂直です。
これは ${{\bm{e}_t}^2 = 1}$ の両辺を $t$ で微分することによって得ます。実際に計算してみると
<tex>
\frac{d{\bm{e}_t}^2}{dt} = 0\\
2\bm{e}_t \cdot \dot{\bm{e}_t} = 0\\
\therefore  \bm{e}_t \cdot \dot{\bm{e}_t} =0 \tag{5}
</tex>
更に曲率半径 $\rho$ を導入すると ${\rho d\phi = ds}$ が言えるので $\dot{\bm{e}_t}$ は
<tex>
\dot{\bm{e}_t} &= \frac{ds}{dt} \frac{d\bm{e}_t}{ds}\\
               &= |\bm{v}| \frac{d \phi}{ds} \frac{d \bm{e}_t}{d \phi}\\
               &= |\bm{v}| \frac{1}{\rho} \bm{e}_n\\
               &= \frac{|\bm{v}|}{\rho} \bm{e}_n   \tag{6}
</tex>
と書き換えることができます。そうすると $\tag{5}$ に $\tag{6}$ を代入する事によって
<tex>
\bm{e}_t \cdot \frac{|\bm{v}|}{\rho} \bm{e}_n = 0\\
\therefore \bm{e}_t \cdot \bm{e}_n = 0 \tag{7}
</tex>
となり、確かに ${\bm{e}_n}$ は経路に対する法線ベクトルである事が示されます。次に $\tag{7}$ を $\tag{6}$ に代入してやると
<tex>
m \dot{|\bm{v}|} \bm{e}_t + m\frac{|\bm{v}|^2}{\rho} \bm{e}_n = \bm{F} = F_{t} \bm{e}_{t} + F_{n} \bm{e}_{n} \tag{8}
</tex>
と運動方程式を目的のカタチに書き直すことができます。

曲率半径（補足）
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曲率半径は回転の中心までの距離を意味します。だからその逆数は曲率を与えるというわけです。定量的に表すとき曲率半径は、 $x,y,z$ を $s$ の関数
としてみると ${|d\bm{e}_{t}|=d\phi}$ に気付けば、 $\tag{3}$ より次のように書けます。
<tex>
d\phi &= |d\bm{e}_{t}| = \sqrt{(\frac{dx}{ds})^2 + (\frac{dy}{ds})^{2} + (\frac{dz}{ds})^2} \\
      &= \sqrt{\left( \frac{d^{2}x}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}y}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}z}{ds^{2}} \right)^{2} } ds\\
\therefore \rho &= \frac{ds}{d\phi} = \frac{ds}{\sqrt{\left( \frac{d^{2}x}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}y}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}z}{ds^{2}} \right)^{2} } ds}\\
                &= \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{d^{2}x}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}y}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}z}{ds^{2}} \right)^{2} }} \tag{9}
</tex>
また、物体が運動している平面上の極座標で曲率半径を書くときは、 $\theta$ 方向の軸と接線方向とのなす角を $\psi$ として
<tex>
&\bm{v} \cdot \bm{e}_{\theta} = (\dot{r} \bm{e}_{r} + r\dot{\theta} \bm{e}_{\theta} ) \cdot \bm{e}_{\theta}\\
&\frac{ds}{dt} \cos \psi = r\frac{d \theta}{dt}\\
&\therefore \cos \psi = r \frac{d \theta}{ds} \tag{10}
</tex>
一方で $r$ 方向は $\theta$ 方向を $\frac{-\pi}{2}$ だけ回転させたものなので
<tex>
\frac{ds}{dt}\cos (\psi + \frac{-\pi}{2}) = \frac{dr}{dt}\\
\therefore \sin \psi = \frac{dr}{ds} \tag{11}
</tex>
この $\tag{10}$ と $\tag{11}$ より $\psi$ は次のように書けます。
<tex>
\tan \psi = \frac{d s}{r d \theta} \frac{dr}{ds} = \frac{1}{r}\frac{dr}{d \theta}\\
\therefore \psi = \tan^{-1} \left( \frac{1}{r} \frac{dr}{d \theta} \right) \tag{12}
</tex>
すると ${\phi = \theta - \psi}$ より ${\frac{d\phi}{d\theta}}$ は
<tex>
\frac{d \phi}{d \theta} &= \frac{d}{d \theta} \left( \theta - \tan^{-1} \left( \frac{1}{r} \frac{d r}{d \theta} \right) \right) \\
                        &= 1 - \frac{d}{d \theta} \left( \frac{1}{r} \frac{dr}{d \theta } \right)  \frac{1}{ 1^{2} + \left( \frac{1}{r} \frac{d r}{d\theta} \right)^{2} } \\
                        &= 1 - \frac{ - \left( \frac{d r}{d \theta} \right)^{2} +  r \frac{d^{2} r}{d \theta^{2}} }{ r^{2} + \left( \frac{dr}{d \theta} \right)^{2} }      \\
                        &= \frac{ r^{2} + 2 \left( \frac{d r}{d \theta} \right)^{2} - r \frac{d^{2} r}{d \theta^{2}} }{ r^{2} + \left( \frac{dr}{d \theta} \right)^{2} } \tag{13}
</tex>
と分かります。また $ds$ は ${ds = \sqrt{ (d r)^{2} + (r d \theta)^{2} }}$ ですから曲率半径 ${\rho = \frac{d s}{d\phi}}$ は次のようになる事が分かるわけです。
<tex>
\rho = \frac{ \left( r^{2} + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^{2} \right)^{ \frac{3}{2} } }{ r^{2} + 2 \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^{2} -r \frac{d^{2}r}{d^{2}\theta} } \tag{14}
</tex>

第2法則から第1法則へ
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実は $\tag{8}$ を注意深く見れば、第1法則が見えてきます。まず力がゼロを代入すると各成分から次の連立方程式が得られます。
<tex>
&\dot{|\bm{v}|} = 0 \tag{15}\\
&\frac{|\bm{v}|^{2}}{\rho} =0 \tag{16} 
</tex>
初速度の大きさを ${v_{0}}$ とすると $\tag{15}$ を時間で積分して
<tex>|\bm{v}|=v_{0}=const. \tag{17}
</tex>
を得ます。すると $\tag{16}$ は $\tag{17}$ から
<tex>
\frac{{v_{0}}^2}{\rho} = 0\\
\therefore  &\rho = \infty\\
            &v_{0} = 0  \tag{18}
</tex>
である事が分かります。この式から ${v_{0}}$ がゼロでないとき曲率半径が無限大。つまり曲率 ${\frac{1}{\rho}=0}$ で直線運動をし、 $\tag{12}$ から等速運動をすることがわかります。
また ${v_{0}=0}$ のときは静止したままであることも分かります。これで第2法則には第1法則の内容が含まれていることが示されました。