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波の式1
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波動を学んでいると,「波の式」というものが登場します.振動の様子を,式で表してみようというものです.
任意の点 $x$ の時刻 $t$ における変位 $y(x, t)$ を求めることが目標です.
以下では,変位 $y[{\rm m}]$ や位置 $x[{\rm m}]$ ,時刻 $t[{\rm s}]$ ,周期 $T[{\rm s}]$ ,波長 $\lambda[{\rm m}]$ ,振幅 $A[{\rm m}]$ など,波動を学ぶ上で基本的な要素が
出てきます.これらについて勉強が済んでいない人は,まず 波の大事な性質_ から読んでみてください.
原点は単振動している
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分かりやすいように,波源は原点にあるとします.そして,その波源は 単振動_ しています.
原点での変位 $y(0, t)$ はどのように表せるでしょうか.
ここでは周期を $T$ としていますので, $T[s]$ 経過した時に元の変位に戻っていなければなりません.
時刻 $t=0$ での変位を $0$ とし,そこから単振動をスタートしたとすると,
y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T} \tag{1}
となります. $A$ は振幅です.時刻 $t=0$ からスタートして, $T[s]$ 秒後の $t=T$ のときに初めて,位相が $2\pi$ に戻りますね.
つまり,変位が元に戻ってくるということです.ここで,位相が無次元になっていることも確認してください.
(式(1)のより詳細な説明については, 単振動_ を参照してください.)
原点の振動が伝わっていく
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原点の振動が式(1)のように表されるとき,波はどのように伝わっていくのでしょうか.
グラフに描いてみましょう.ひもの先を原点で振動させるようなイメージです.
波源から出た波は,等速で伝わっていきます.
- $t=0$
.. image:: tomo-sinwave-fig1.png
- $t=\frac{1}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig2.png
- $t=\frac{1}{2}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig3.png
- $t=\frac{3}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig4.png
- $t=T$
.. image:: tomo-sinwave-fig5.png
- $t=\frac{5}{4}T$
.. image:: tomo-sinwave-fig6.png
このように伝わっていきますね.原点での振動がだんだんと伝わっていくことが分かります.
上に示したグラフは, $y-x$ グラフです.つまり,グラフ1枚1枚は時刻 $t$ を固定したものだということです.
そして,時刻を追って動かすと,以下のようになります.
.. image:: tomo-sinwave-fig8.gif
原点以外の点ではどのような振動になるか
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では,原点以外の点ではどのような振動になるかをみていきましょう.
波は以下のように伝わっていくのでした.
.. image:: tomo-sinwave-fig7.png
点 $x$ にスポットを当てて考えてみます.今,点 $x$ にいる波も,
元はといえば原点にいました.何秒か前の原点の振動が再現されているということもできますね.
では,何秒前の原点の振動が再現されているのでしょうか.
波の伝わる速さを $v$ としますと,原点から点 $x$ に到達するまでに $\frac{x}{v}$ という時間がかかっています( $x>0$ としています).
つまり, $\frac{x}{v}$ 秒前の原点での振動が,今,点 $x$ で再現されているのです.
原点は(1)で表される振動をしているわけですから,点 $x$ における変位を $y(t, x)$ とすると,
y(t, x)=y\left(0, t-\frac{x}{v}\right)=A\sin 2\pi\frac{\left( t-\frac{x}{v} \right)}{T}
となることが分かります.少し書き換えてみますと,
\begin{array}{rl}
y(t, x) &= \displaystyle A\sin \frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{v}\right) \\
&= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{vT}\right) \\
&= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) \tag{2}\\
\end{array}
となります( $\lambda$ は波長).今まで一生懸命この式を覚えていた!!っていう人,いませんか?
えぇ〜っと・・・ $T$ はどこだっけ・・・ $\lambda$ はどこだっけ・・・分子?分母?なんて思い出そうとしていた人,いませんか?
導出はそれほど難しくありませんから,式を覚えるより考え方を身に付けてしまった方が良いですよ.
また,はじめのセクションでも触れましたが,位相は無次元です.(2)式の括弧の中を見てみると, $t[{\rm s}]$ が $T[{\rm s}]$ で
割ってありますし, $x[{\rm m}]$ が $\lambda[{\rm m}]$ で割ってありますから,ちゃんと無次元になっています.
そういったところを気をつけていると,つまらない間違えをふせげるかもしれません.
.. _波の大事な性質: http://www12.plala.or.jp/ksp/quantum/wave/index.html
.. _単振動: http://***/
@@author: tomo et al.@@
@@accept: 査読中@@