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量子力学への準備
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ここでは，量子力学にしばしば登場する基本的で重要な概念を学びます．

内積とは
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波動関数 $\phi(r, t), \psi(r, t)$ について，

$\int_{V}dr(r, t))^{*}\psi(r, t)$

を内積と言い，

$(\phi(r, t), \psi(r, t))$

と書きます（ $V$ は全空間）．内積が $0$ になるとき，互いの波動関数は「直交する」といいます．

ノルム，規格化とは
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波動関数 $\phi(r, t)$ の自分自身との内積は $0$ または正の実数になります．よって，その平方根を取ることができて，これを「ノルム」と呼びます。このノルムを通常 $1$ になるように取り，この操作を「規格化」といいます．

共役演算子とは
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$(\phi, X\psi)=(Y\phi, \psi)$

を満たす演算子 $Y$ のことを，演算子 $X$ の共役演算子といいます．このとき，

$Y=X^{\dagger}$

と書きます．

エルミート演算子とは
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$X^{\dagger}=X$

つまり，

$(\phi, X\psi)=(X\phi, \psi)$

を満たす演算子 $X$ のことを，エルミート演算子といいます．

エルミート演算子の固有値
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エルミート演算子 $X$ に対して，

$Xu_n=nu_n$

という固有値方程式を考えます（固有関数が $u_n$ で固有値が $n$ ）．この式で， $u_n$ との内積を取ると，

$n(u_n, u_n)=(u_n, nu_n)=(u_n, Xu_n)=(X^{\dagger}u_n, u_n)=(Xu_n, u_n)=(nu_n, u_n)=n^{*}(u_n, u_n)$

となります．これから，「エルミート演算子の固有値は実数（ $n^{*}=n$ ）である」ことが分かります．

エルミート演算子の異なる固有値に対する固有関数
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エルミート演算子 $X$ に対して，

$Xu_n=nu_n$

という固有値方程式を考えます（固有関数が $u_n$ で固有値が $n$ ）．この式で，

$Xu_m=mu_m(n\neq m)$

を満たす $u_m$ との内積を取ると，

$n(u_m, u_n)=(u_m, nu_n)=(u_m, Xu_n)=(X^{\dagger}u_m, u_n)=(Xu_m, u_n)=(mu_m, u_n)=m(u_m, u_n)$

より，

$(n-m)(u_m, u_n)=0$

となります．ここで， $n\neq m$ から，

$(u_m, u_n)=0$

が得られ，「エルミート演算子の異なる固有値に対する固有関数は直交する」ことが分かります．

@@author: tomo@@
@@accept: 2004-12-13@@