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自然対数の底
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数学や物理などの自然科学では，
自然対数の底という名前で $e$ という数が非常に広く使われています．
$\log_e x$ や $e^{ix}$ など，いろいろなところで登場しますね．
この $e$ は $e=2.78\dots$ という値をもつ無理数です．

$e$ がどうしてそのような値になるのか，
そしていったいどのような意味で重要なのかを，
少し考えてみたいと思います．


指数関数の微分
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自然対数の底は，指数関数の微分から導かれる数です．
そこで，一般の指数関数の微分を考えます．
まず，微分の定義ですが，$f(x)$ という関数の場合
\begin{align*}
 \frac{df(x)}{dx}
 &= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align*}
というものでした．この定義をそのまま指数関数 $a^x$ に
適用すれば
\begin{align*}
 \frac{da^x}{dx}
 &= \lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \tag{1}
\end{align*}
と書くことができます．ここで指数関数の重要な性質 
$a^{x+h}=a^x a^h$ を用いると，上式は
\begin{align*}
 \lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}
 = \lim_{h\to0}\frac{a^x a^h-a^x}{h}
\end{align*}
となります．さらに，$a^x$ は極限とは関係ありませんので
$\lim$ の外に出すことができて，結局式(1)は
\begin{align*}
 \frac{da^x}{dx}
 &= \lim_{h\to0}\frac{a^x a^h-a^x}{h}\\
 &= a^x \lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h} \tag{2}
\end{align*}
と変形できます．式(2)の言っていることは，
指数関数 $a^x$ を微分したものは，$a^x$ そのものに 
$\lim_{h\to0}(a^h-1)/h$ を掛けたものである，ということです．

\subsection*{微分しても変わらないということ}


@@author:崎間@@
@@accept:@@