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線形微分方程式の解き方
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物理学の方程式は多くの場合、線形微分方程式でまとめられている。
よって線形微分方程式の一般的な解法は物理学の学習に必須である。
 
今から紹介する解法は経験的に確かめられたもので、成り立つ事が理解できたのならば、
それ以上の理論は物理をする上では必須ではない。ただし、自分で微分方程式を解く
時はいつも解がその微分方程式を満たす事を確かめなければならない。


一階の定数係数微分方程式の解法
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一階の定数係数微分方程式は一般の形は
<tex>
\frac{dy(x)}{dx}+py(x)&= q \tag{1}
</tex>
である。 　　　　　　　　　　　　　　　$p,q$ : 定数


求積法
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求積法による解法は最も直感的で分かりやすい。定数変化法などによる方法もあるが
まずはこの方法で求めてみる。

解説
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まず積関数の微分における公式
<tex>
\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx} \tag{2}
</tex>
に$f(x)&=y(x)$,$g(x)=e^{\int{p}dx}$を代入して計算すると
<tex>
\frac{d}{dx}y(x)e^{\int p dx} & = \frac{dy(x)}{dx}e^{\int p dx}+y(x)\frac{de^{\int p dx}}{dx} \\
                              & = \frac{dy(x)}{dx}e^{\int p dx}+y(x)pe^{\int p dx} \\
                              & = (\frac{dy(x)}{dx}+py(x))e^{int p dx} \tag{3}
</tex>
となる。(1)式の右辺を(3)式右辺中の$(\cdot)$に代入すると
<tex>
\frac{d}{dx}y(x)e^{\int p dx}=qe^{\int p dx}  
</tex>
となる。両辺を積分で積分すると

<tex>
\int \frac{d}{dx} y(x) e^{\int p dx} & = \int q e^{\int p dx} dx + C \\
y(x) e^{\int p dx}                   & = \int q e^{\int p dx} dx + C \\
y(x)                                 & = e^{-\int p dx} \int q e^{\int p dx} + C \tag{5}
</tex>
という一般解が求まる。                         $C$:積分定数

Ploblem1
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一階定数係数線形微分方程式
<tex>
\frac{dy(x)}{dx}+4y(x)&= 7 
</tex>
の解を求めよ。また解が問題の方程式を満たしているかを調べ、
自分の答えが合っているか確かめなさい。