================= ベクトル解析奮闘記（１） ================= はじめに ----------------- 講義などで初めてベクトル解析を習った時、“難しい”、“わけわからん”と思った経験がありませんか？実は私もその一人です。いまだに詳しくはわかりませんが、これまで私が悩んだ過程をここにご紹介して、もしご参考になればと思います。 初講義前日 ----------------- ベクトル解析って、ベクトルを使って問題解いたりするのでしょうか？ベクトルなら高校の数学で習ったし、要するに大きさと、方向（向き）を持つ概念ですよね？矢印作図して足し算したり、引き算したり、大きさを実数倍したり、特に始点を原点(0,0)にすれば終点の座標 $(x,y)$ でベクトルを表せちゃいます。作図しなくても、そういう風に成分表示すれば足し算、引き算も簡単です。内積だってわかります。成分で書くと $(a,b)\cdot(c,d)=ac+bd$ とすればいいのです。簡単、なはずです。 たいした事ないですよ、きっと。実は明日ベクトル解析の初講義なんですが、予習なんてしないで寝ちゃおっと・・・。 翌日初講義終了。ところが！ -------------------- わー、なんなんだこれは！ わからん、全くわからん！だいたい三角関数の ${\rm sin,cos}$ じゃあるまいし、なんで ベクトルやるのに３，４文字英単語（ ${\rm grad}$ （グラジエント）、 ${\rm div}$ （ダイバージェンス）、 ${\rm rot}$ （ローテーション））や、おまけに偏微分記号まで出てくるんでしょう！もちろん ${\rm sin,cos}$ は私でもわかります、直角三角形の辺の比ですよね？（絵を書いてみればすぐわかります。）偏微分だって、他の変数（例えば $x$ で微分する場合、それ以外の $y,z$ など）を定数と見て、微分する事でしょ？それも知ってるんだがなあ。いずれにせよこれは家に帰ってよく復習しないと。電磁気学はこれ使うって言うし・・・。 自宅で復習（gradの巻） ------------------------ ここであきらめたり、あせってもしょうがないのでまずゆっくり順番に考えてみました。 " ${\rm grad}$ "はえーっと" ${\rm gradient}$ （傾き）"の略ですか・・・。たしか先生が黒板に書いた式は {\rm grad}f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}) だったなー。 う〜ん、 ${\rm grad}$ ももちろん、 $\partial$ がいかにも難しそう・・・。でも冷静に見ると、これは値が三つ組みになってるから、スカラー（ベクトルのように方向を持たないただの数値）関数 $f$ から３次元のベクトルを一つ作ったようですね（どんなベクトルかはまだわかりませんが）。とりあえず、わかりやすくするために $z$ を省いて２次元で考えると {\rm grad} f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) あれっ、こうやってみると、 $x$ の変化に対する $f$ の変化率と、 $y$ の変化に対する $f$ の変化率を $x,y$ 成分に持つベクトルのようですね。例えば $f$ を具体的に考えると f=3x+4yなら \frac{\partial f}{\partial x}=3　（ $4y$ は定数扱いで $0$ になる）\frac{\partial f}{\partial y}=4　（ $3x$ は定数扱いで $0$ になる）だから {\rm grad}f=(3,4)となるわけですか・・・。 一体このベクトルは何者でしょうか？ 今の場合、変数 $(x,y)$ の変化に対する $f$ の変化率を表記する時に、 $x$ 方向に対する変化率は $3$ 、 $y$ 方向に対する変化率は $4$ 、ということなのですが、どちらか $0$ なら、片方だけ（数値１個）で表されるのでしょうけど、実際はそうとは限らないし、 $x$ 方向と $y$ 方向じゃ違う方向の大きさですから、 $3+4=7$ と足し算するわけにもいきません。もし $(1,100)$ なら、ほとんど $y$ 方向と考えていいけど、 $x$ 方向も完全に無視はできないし、それぞれの方向の大きさに応じた合成方向・・・というわけですか。この数値の場合と、一般的な場合をグラフに書くと以下のようになりますね。 .. image:: yakan-grad-fig1.png .. image:: yakan-grad-fig2.png なるほど、それで $x$ 方向と $y$ 方向の変化率をそれぞれ $x$ 方向と $y$ 方向の成分としたベクトル{\rm grad} f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) を考えれば、まとめて表記できるわけですね。 $x$ 方向の変化率を(\frac{\partial f}{\partial x},0)、 $y$ 方向の変化率を(0,\frac{\partial f}{\partial y})と、それぞれ自体ベクトルと考えると、 (\frac{\partial f}{\partial x},0)+(0,\frac{\partial f}{\partial y} )=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})={\rm grad} fですから、 ${\rm grad} f$ は $x$ の変化率と $y$ の変化率を方向も含めて合成した、一番変化率の高い（坂で言えば勾配のきつい）方向を向いてるベクトルなんですね。だから ${\rm grad}$ （勾配）というのか・・・。ふー、やっとわかった気がします。（ $z$ を増やして３次元で考えても同じ事ですね） 勾配がきつい方向ということは、矢印を逆にすれば、ボールが転がり落ちてくる方向になります（下図）。 .. image:: yakan-grad-fig3.png @@author:やかん@@ @@information:イラスト:崎間@@ @@accept:YYYY-MM-DD@@