================= ベクトル解析奮闘記（１） ================= はじめに ----------------- 講義などで初めてベクトル解析を習った時、“難しい”、“わけわからん”と思った経験がありませんか？実は私もその一人です。いまだに詳しくはわかりませんが、これまで私が悩んだ過程をここにご紹介して、もしご参考になればと思います。 初講義前日 ----------------- ベクトル解析って、ベクトルを使って問題解いたりするのでしょうか？ベクトルなら高校の数学で習ったし、要するに大きさと、方向（向き）を持つ概念ですよね？矢印作図して足し算したり、引き算したり、大きさを実数倍したり、特に始点を原点(0,0)にすれば終点の座標（x,y）でベクトルを表せちゃいます。作図しなくても、そういう風に成分表示すれば足し算、引き算も簡単です。内積だってわかります。成分で書くと(a,b)･(c,d)=ac+bdとすればいいのです。簡単、なはずです。 たいした事ないですよ、きっと。実は明日ベクトル解析の初講義なんですが、予習なんてしないで寝ちゃおっと・・・。 翌日初講義終了。ところが！ -------------------- わー、なんなんだこれは！ わからん、全くわからん！だいたい三角関数のsin,cosじゃあるまいし、なんで ベクトルやるのに３，４文字英単語（grad（グラジエント）、div（ダイバージェンス）、rot（ローテーション））や、おまけに偏微分記号まで出てくるんでしょう！もちろんsin,cosは私でもわかります、直角三角形の辺の比ですよね？（絵を書いてみればすぐわかります。）偏微分だって、他の変数（例えばxで微分する場合、それ以外のy,zなど）を定数と見て、微分する事でしょ？それも知ってるんだがなあ。いずれにせよこれは家に帰ってよく復習しないと。電磁気学はこれ使うって言うし・・・。 自宅で復習gradの巻) ------------------- ここであきらめたり、あせってもしょうがないのでまずゆっくり順番に考えてみました。 "grad"はえーっと"gradient（傾き）"の略ですか・・・。たしか先生が黒板に書いた式は grad f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}) だったなー。 う〜ん、gradももちろん、∂がいかにも難しそう・・・。でも冷静に見ると、これは値が三つ組みになってるから、スカラー（ベクトルのように方向を持たないただの数値）関数fから３次元のベクトルを一つ作ったようですね（どんなベクトルかはまだわかりませんが）。とりあえず、わかりやすくするためにzを省いて２次元で考えると grad f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) あれっ、こうやってみると、xの変化に対するfの変化率と、yの変化に対するfの変化率をx,y成分に持つベクトルのようですね。例えばfを具体的に考えると f=3x+4yなら \frac{\partial f}{\partial x}=3　（4yは定数扱いで0になる） \frac{\partial f}{\partial y}=4　（3xは定数扱いで0になる） だから grad f=(3,4)となるわけですか・・・。 一体このベクトルは何者でしょうか？ 今の場合、変数（x,y）の変化に対するfの変化率を表記する時に、x方向に対する変化率は3、y方向に対する変化率は4、ということなのですが、どちらか0なら、片方だけ（数値１個）で表されるのでしょうけど、実際はそうとは限らないし、x方向とy方向じゃ違う方向の大きさですから、3+4=7と足し算するわけにもいきません。もし（1,100）なら、ほとんどy方向と考えていいけど、x方向も完全に無視はできないし、それぞれの方向の大きさに応じた合成方向・・・というわけですか・・・。なるほど、それでx方向とｙ方向の変化率をそれぞれx方向とy方向の成分としたベクトルgrad f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) を考えれば、まとめて表記できるわけですね。x方向の変化率を(\frac{\partial f}{\partial x},0)、y方向の変化率を(0,\frac{\partial f}{\partial y})と、それぞれ自体ベクトルと考えると、 (\frac{\partial f}{\partial x},0)+(0,\frac{\partial f}{\partial y} )=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})=grad fですから、 grad fはxの変化率とyの変化率を方向も含めて合成した、一番変化率の高い（坂で言えば勾配のきつい）方向を向いてるベクトルなんですね。だからgrad（勾配）というのか・・・。ふー、やっとわかった気がします。（zを増やして３次元で考えても同じ事ですね）