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2次方程式の解の公式
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2次方程式には「解の公式」なるものが存在します．
中学・高校では頻繁に使うのですが，個人的に最近はあまり使わなくなっていました．
公式の存在すら忘れてしまい「ん，これはどうやって解くんだ？」，「解の公式？は？」
なんてことにならないためにも，そして「公式」に頼りきらないためにも，
2次方程式の解の公式を導出をしてみましょー．
さらに学びたい人には， 平方完成の図形的イメージ_ という姉妹記事も用意しています．
解の公式
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まずは公式そのものの確認です．2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は
<tex>
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \tag{#def(eq:1)}
</tex>
で与えられるという公式，これが「2次方程式の解の公式」です．
ほとんどの人が，中学生のとき数学の授業で暗記させられたと思います．
みなさんは，まだ覚えていますか？（僕はついこないだまで忘れてました．）
導出
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それでは，解の公式を導いてみます．
単純に，2次方程式を平方完成して解けば良いです．つぎの2次方程式
<tex>
ax^2+bx+c=0
</tex>
を，実際に平方完成して解いて行きましょう
（平方完成の手順を忘れてしまった人は，その復習にもなりますよ）．
最初に，一番次数の大きい $x^2$ の係数で $x$ の項を括ります．
いまの場合は $a$ で括ることになります．
<tex>
a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c &= 0 \tag{#def(eq:a)}
</tex>
そして，括ったカッコを2乗（平方）の形にします．ここが平方完成です．
<tex>
a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\left(\frac{b}{2a}\right)^2+c &= 0 \tag{#def(eq:b)}
</tex>
このとき，マイナスの項が出てくる理由はいいですよね
（よく分からなければ，実際に式(#ref(eq:b))を計算して，
式(#ref(eq:a))に戻ることを確かめてみてください）．
式(#ref(eq:b))の左辺第1項だけを左辺に残し，それ以外は右辺に移項します．
<tex>
a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= a\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c
</tex>
上式の両辺を $a$ で割って（ $a \ne 0$ とします），右辺を通分すると
<tex>
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}\\
&= \frac{b^2}{2^2 a^2}-\frac{c}{a}\\
&= \frac{b^2-4ac}{4a^2}
</tex>
となります．ここまでくれば，後は
<tex>
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \tag{#def(eq:c)}
</tex>
を変形して $x=$ の形にしてやれば解の公式のできあがりです．
とりあえず，左辺の2乗を外したいですね．
たとえば「 $x^2=u$ 」という式があって， $x^2$ の二乗を外したい場合は，
右辺をルートにすれば良いのでした．しかし $x=\sqrt{u}$ では間違いです．
二乗して $u$ になる数は $+\sqrt{u}$ と $-\sqrt{u}$ の二つあることに注意してください．
したがってこの例では $x=\pm\sqrt{u}$ となります．
これを踏まえて式(#ref(eq:c))を変形しますと
<tex>
x+\frac{b}{2a} &= \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
</tex>
となります．そして左辺第2項を移項して
<tex>
x = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac{b}{2a}
</tex>
通分すると
<tex>
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
</tex>
のできあがりです．これで，解の公式(#ref(eq:1))の導出が完了しました．
導出の流れさえ理解しておけば，解の公式を忘れてしまっても，
$ax^2+bx+c=0$ からスタートしていつでも導くことができます．
解の公式を導く方法は上の通りでしたが，「平方完成」とはどういう意味があったのでしょう．
知りたい方は 平方完成の図形的イメージ_ に進んでみてください．
.. _平方完成の図形的イメージ: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/completingSquareImage/
@@author: 崎間@@
@@accept: 2005-11-13@@
@@category: 代数学@@
@@id:kainokoshiki@@
記事ソース/2次方程式の解の公式 の変更点
