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平面のグリーンの定理再考
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ベクトル解析に、平面のグリーンの定理と呼ばれる定理がありました。
.. admonition:: theorem
【平面のグリーンの定理】 $x_{1}x_{2}$ 平面上に単純閉曲線 $C$ と、 $C$ に囲まれた領域 $D$ があり、 $C$ と $D$ を含む領域で定義された $C^{1}$ 級の関数 $P(x_{1},x_{2}), \ Q(x_{1},x_{2})$ があります。このとき、 $\ointop \limits _{C}Pdx_{1}+Qdx_{2} = \int \int \limits _{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x_{1}}- \frac{\partial P}{\partial x_{2}} \right) dx_{1}dx_{2}$ が成り立ちます。ただし、 $\ointop$ の向きは反時計回りとします。
証明や詳細については 平面のグリーンの定理_ を参照して下さい。この記事では、この定理を微分形式を使って定式化し直すことを考えます。
微分形式による表現
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まず、この問題は二次元ベクトル空間 $R^{2}$ 上で考えますから、微分形式として出て来るのは零次微分形式（ただの関数）、一次微分関数、二次微分関数までです。（三次微分形式以降は零になります。よく分からない人は、もう一度 微分形式_ と 外微分_ を復習して下さい。）定理の左辺の線積分の中身は、一次微分形式の形をしていますね。それを $\omega$ で書くことにします。
<tex>
\omega = P(x,y)dx+Q(x,y)dy
</tex>
さて、次に $\omega$ の外微分を取ってみましょう。
<tex>
d\omega &= dP \land dx + dQ \land dy \\
&= \left( \frac{\partial P}{\partial x}dx + \frac{\partial P}{\partial y}dy \right) \land dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}dx + \frac{\partial Q}{\partial y}dy \right) \land dy \\
&= \frac{\partial P}{\partial y}dy \land dx + \frac{\partial Q}{\partial x}dx \land dy \\
& = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}
\right) dx \land dy
</tex>
まだウェッジ積の計算に馴れていない人がいると思いますが、途中で $dx \land dx = dy \land dy =0, \ \ dx \land dy = -dy \land dx$ を使ったことを確認して下さい。 $d\omega$ を前出の平面のグリーンの定理と比較してみると、まさに右辺の形になっていることが分かると思います。また、『周回積分の向きは、反時計回りとする』という注意をわざわざ別に書き添えなくても、 積分の向きと微分形式_ の議論により、そうした向きの情報も微分形式に含めることが出来ます。安心ですねー。よって、グリーンの定理は、微分形式を使って次のように表現できます。
<tex>
\ointop \limits _{C} \omega = \int \int \limits _{D} d\omega
</tex>
これだけでも十分に簡単で、最初よりもずっと覚えやすい形をしていますが、曲線 $C$ は曲面 $D$ の境界ですから、 $C$ を形式的に $\partial D$ と表現すると、もっと綺麗な形に帰着します。せっかくなので、もう一度定理の形に書き下しておきます。
.. admonition:: theorem
【平面のグリーンの定理】 $\omega$ を $R^{2}$ 上の一次微分形式 $\omega = P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ とすると、 $\int \limits _{\partial D} \omega = \int \limits _{D} d\omega$ が成り立ちます。
いやー、本当に美しいですね。最初に掲げた定理の表現より、ずっとすっきりしています。しかも、この表現で何が美しいかと言えば、見て分かる通り、被積分関数と積分領域との間に、一種の *双対関係* とも言うべき関係が見えることです。
.. [*] 平面のグリーンの定理に関して何よりも重要な性質は、この定理が『座標系の取り方によらない』という事実です。言い換えれば、（微分形式で表現した）平面のグリーンの定理は座標変換しても不変です。そして 外微分の座標不変性_ で示したように、外微分による表現は座標系によりませんので、微分形式によって $\int \limits _{\partial S} \omega = \int \limits _{S} d\omega$ と書いた表現は座標系によらないわけです。実は、ベクトル解析に出てきたガウスの発散定理、ストークスの定理なども、平面のグリーンの定理と同じであることが徐々に分かってきます。そして、平面のグリーンの定理、ガウスの発散定理、ストークスの定理などは、どれももっと包括的な定理の系であることが示されます。
.. _平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/GreensTheorem/
.. _微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsDef/
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/ExteriorDiff/
.. _ストークスの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/StokesTheorem/
.. _積分の向きと微分形式: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsIntegralOrientation/
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/ExteriorDiffInvariant/
@@author:Joh@@
@@accept: @@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsGreensTheorem@@
記事ソース/平面のグリーンの定理再考 の変更点
