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波の式2
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波の式1_ では，波源が原点にあって $y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T}$ （ $A$ は振幅， $T$ は周期）という振動をしている場合について， $x>0$ の
領域でどのような振動になっているかを学びました．波の式2では，この場合の $x<0$ の領域での振動や，
波源の振動が $y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T}$ でない場合の振動，そして，波源が原点以外の点にある場合の振動についてみていきます．
以下では，波長を $\lambda$ ，波の伝わる速さを $v$ とします．
x<0の領域ではどのような振動になっているか
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波源が原点にあって $y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T}$ という振動をしている場合， $x>0$ の領域では，
<tex>y(x, t)=A\sin \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda} \right)</tex>
という振動をしていましたね．点 $x$ においては，「波源の振動が $\frac{x}{v}$ 秒遅れて伝わる」
ということから式を導いたのでした．では， $x<0$ の領域にはどのような振動が伝わっているのでしょうか．
.. image:: tomo-sinwave2-fig1.png
原点にある波源の振動が点 $x$ の位置まで伝わるのにかかる時間は， $\frac{(-x)}{v}$ 秒となります．
なぜ，マイナスがついているか，分かるでしょうか？
今， $x$ は負です．そのため， $\frac{x}{v}$ は負になってしまい，
「時間が経過している」ということと矛盾してしまいます．それを避けるために，
マイナスをつけて，値がプラスになるようにしているのです．
$\frac{(-x)}{v}$ 秒前の波源の振動が伝わってきているので， $x<0$ の領域では，
<tex>
\begin{array}{rl}
y(x, t) &= \displaystyle y\left(0, t-\frac{(-x)}{v}\right) \\
&= \displaystyle A\sin 2\pi\frac{\left( t-\frac{(-x)}{v} \right)}{T} \\
&= \displaystyle A\sin 2\pi\frac{\left( t+\frac{x}{v} \right)}{T} \\
\end{array}
</tex>
となります．少し書き換えてみますと，
<tex>
\begin{array}{rl}
y(x, t) &= \displaystyle A\sin \frac{2\pi}{T}\left(t+\frac{x}{v}\right) \\
&= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{vT}\right) \\
&= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda}\right)\\
\end{array}
</tex>
となります．
波源の振動がこれまでと違う場合はどうなるか
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これまでは，波源の振動を
<tex>y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T}</tex>
に限ってきました．これは，時刻 $t=0$ に媒質が点 $x=0$ を $y>0$ の方向に向かって通過する振動で，
言ってみれば特殊な場合です．しかし，波源は必ずしもそういった振動であるとは限りません．一般に波源の振動は，
<tex>y(0, t)=A\sin \left( 2\pi \frac{t}{T} +\alpha \right)</tex>
と表すことができます．この振動では， $y(0, 0)=A\sin \alpha$ となりますね（ $\alpha$ を「初期位相」と呼びます）．
さて，このとき点 $x$ ではどのような振動になるでしょうか．波源の振動が， $x>0$ の領域では
$\frac{x}{v}$ 秒だけ遅れて， $x<0$ の領域では $\frac{(-x)}{v}$ だけ遅れて伝わることは，
もう分かりますね．したがって， $x<0$ の領域では
<tex>y(x, t)=y\left(0, t-\frac{x}{v} \right)= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda} +\alpha\right)</tex>
$x>0$ の領域では
<tex>y(x, t)=y\left(0, t-\frac{(-x)}{v} \right)= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda} +\alpha\right)</tex>
となるわけです．
波源が原点以外の点にある場合はどうなるか
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これまでは，波源が原点にある場合を扱ってきました．では，波源が原点以外の点にある場合は，どうなるのでしょうか．
波源が点 $x_1$ にあって，
<tex>y(x_1, t)= \displaystyle A\sin \left( 2\pi \frac{t}{T} +\alpha\right)</tex>
という振動をしている場合を考えてみましょう．
$x>x_1$ の領域の点 $x$ には，波源の振動が $\frac{x-x_1}{v}$ 秒遅れて伝わってきます．
.. image:: tomo-sinwave2-fig2.png
したがって，
<tex>
\begin{array}{rl}
y(x, t) &= y\displaystyle \left(x_1, t-\frac{x-x_1}{v}\right) \\
&= \displaystyle A\sin \left( 2\pi \frac{t-\frac{x-x_1}{v}}{T}+\alpha \right)\\
&= \displaystyle A\sin \left( \frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x-x_1}{v}\right) +\alpha \right)\\
&= \displaystyle A\sin \left( 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x-x_1}{\lambda}\right) +\alpha \right)\\
\end{array}
</tex>
と求まります．
問
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波源が点 $x_1$ にあって，
<tex>y(x_1, t)= \displaystyle A\sin \left( 2\pi \frac{t}{T} +\alpha\right)</tex>
という振動をしている場合， $x<x_1$ の領域ではどのような振動になるか．
まとめ
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波の式を求めるのに考えなければならないことは，
- 波源はどこにあるのか
- 波源はどのような振動をしているか
- 振動の様子を知りたい点には，波源の振動が何秒遅れて伝わってきているか
の3つです．･･･と聞いて，「ふむふむ」と思えた人はもう大丈夫です．
.. _波の式1: http://www12.plala.or.jp/ksp/wave/sinWave1/index.html
@@author: tomo@@
@@accept: 2005-07-10@@
@@category: 波と振動@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id:sinWave2@@
記事ソース/波の式2 の変更点
