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任意の固有値と固有ベクトルを持つ行列の求め方
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固有値 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots$ とそれに対応する
互いに線形独立な固有ベクトル $\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots$ を持つ
行列 $A$ の作り方を考えます。一見、難しそうですが、
結果は簡単です。
それでは、さっそく求めてみます。
求めるｎ次正方行列 $A$ に対し、固有値 $\lambda_i \ \ \ (i=1,2,3,\cdots,n) $ を持つ
列ベクトル $\bm{v}_i$ とすると、
<tex>
A \bm{v}_i = \lambda_i \bm{v}_i \tag{##}
</tex>
が成立します。
すると、ｎ次の正方行列
<tex>
P=\left( \bm{v}_1\bm{v}_2 \cdots \bm{v}_n \right) \tag{##}
</tex>
同じく行列
<tex>
\Lambda = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
として、まとめて表すことができて、
<tex>
A P = P \Lambda \tag{##}
</tex>
ここで $P$ は、線形独立な行ベクトルからなるので、
ここで $P$ は、線形独立な列ベクトルからなるので、
逆行列が存在して、
<tex>
A = P \Lambda P^{-1} \tag{##}
</tex>
と求まりました。これは少し変形してやると、
<tex>
\Lambda = P^{-1} A P
</tex>
なので、対角化の作業を逆にしたものであることが分かります。
なかなか興味深いです。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2012-07-25@@
@@category:物理数学@@
@@id:designMatrix@@
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