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対数関数lnと指数関数expが逆関数であることの証明
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この記事では、
、
<tex>
y= f(x)= \ln \ x = \log_e \ x
</tex>
が [*]_ 、
.. [*] 大学では、 $e$ を底とする対数関数 $\log_e \ x$ を、 $\ln \ x $ と書きます。
<tex>
y= g(x) = e^x = \exp(x)
</tex>
の逆関数であることを確認します。
本題
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<tex>
y &= (f \circ g)(x) \\
&= \ln \ e^x \\
&= x \ln \ e \\
&= x
</tex>
は、簡単に示せます [*]_ 。
.. [*] ここで、 $\ln\ x^y = y \ln \ x$ という性質を用いました。
でははたして、
<tex>
y &= (g \circ f)(x) \\
&= e^{\ln \ x} \\
&= x \tag{##}
</tex>
は、どうしたら示せるでしょうか？ [*]_
.. [*] そもそも、 $y =\ln\ x$ は、 $e$ を $y$ 乗した時 $x$ になるときの $y$ という数の事だったので、
定義から考えると当然の結果ではあります。よって、以下は計算で示したい人だけ読んでください。
それには、ちょっと工夫が要ります。
式 $(1)$ において、
<tex>
x = \exp(t)
</tex>
と置いてやるのです。
<tex>
y &= (g \circ f)(x) \\
&=\exp(ln \ x) \\
&= \exp(ln \ e^t) \\
&= \exp(t ln \ e) \\
&= exp(t) \\
&=\exp(\ln \ x) \\
&= \exp(\ln \ e^t) \\
&= \exp(t \ln \ e) \\
&= \exp(t) \\
&= x \tag{##}
</tex>
一番最後の行で、最初に決めた関係 $e^t=x$ を用いました。
これで、めでたく
<tex>
(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x
</tex>
が示せました。
では、そろそろ、今日はここまで。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-05-17@@
@@category:物理数学@@
@@id:lnAndExp@@
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