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相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換
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今回は物理とは距離を置いて、物理を勉強する上で僕がつきあたった
数学的問題の一つを、厳密さに欠けますが、書こうと思います。
厳密には、積分の順序を交換する時、それぞれの積分が絶対収束することを
言わねばなりません。
相関関数
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実数の物理量 $\phi_1(t_0)$ と、 $\phi_2(t_0)$ の相互相関関数 $C_{12}(t)$ とは、
<tex>
C_{12}(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0
</tex>
と定義されます。注意しておくこととして、相互相関関数は、自己相関関数（ $\phi_1(t)=\phi_2(t)$ の時）と違い、偶関数にはなりません。
相関関数のフーリエ変換
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これをフーリエ変換するとどうなるか、と言うのが、今回の問題です。
やってみますと、
<tex>
\mathcal{F}(C_{12}(t)) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t+t_0)} \phi_1(t+t_0) d(t+t_0) \int_{-\infty}^{\infty} \phi_2(t_0)e^{i \omega t_0} dt_0 \\
&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \phi_2(t_0) e^{i \omega t_0} dt_0 \\
&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \mathcal{F} \phi_2(- \omega)
</tex>
となります。ここで、 $\phi_1$ と $\phi_2$ を入れ替えれば、 $\mathcal{F}(C_{21}(t))= \mathcal{F} \phi_1(- \omega) \mathcal{F} \phi_2(\omega) = \mathcal{F}(C_{12}(-t)) $ が成立します。
余談ですが、もしかすると、ヤコビアンに関する知識が必要かもしれません。
つまりは、 $s=t+t_0$ と置くと、 $t_0=t_0$ 、 $t=s-t_0$ より、
<tex>
dt_0 dt &= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial t_0}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t_0}{\partial s} \\
\dfrac{\partial t}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t}{\partial s}
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial t_0}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t_0}{\partial s} \\
\dfrac{\partial (s-t_0)}{\partial t_0} & \dfrac{\partial (s-t_0)}{\partial s}
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= dt_0 d(t+t_0)
</tex>
です。
畳み込み積分とフーリエ変換
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畳み込み積分というものを定義します。
<tex>
h(t) \equiv \int_{-\infty}^\infty \phi_1( \tau )\phi_2(t- \tau ) d\tau
</tex>
これもフーリエ変換してみましょう。
<tex>
\mathcal{F}(h(t)) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^\infty \phi_1( \tau )\phi_2(t- \tau ) d\tau dt\\
&= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega (t- \tau ) }\phi_2(t- \tau ) d t \int_{-\infty}^\infty e^{- i \omega \tau} \phi_1( \tau ) d \tau \\
&= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega (t- \tau ) }\phi_2(t- \tau ) d (t-\tau) \int_{-\infty}^\infty e^{- i \omega \tau} \phi_1( \tau ) d \tau \\
&= \mathcal{F} \phi_2( \omega ) \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega \tau} \phi_1( \tau ) d \tau \\
&= \mathcal{F} \phi_2 ( \omega ) \mathcal{F} \phi_1 ( \omega )
</tex>
こうなりました。何かの参考になれば幸いです。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-06-07@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:fourierCorre@@
記事ソース/相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換 の変更点
