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正方行列の基本性質
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行と列が一致している行列 ( $n \times n$ 行列) のことを正方行列と呼びます．正方行列は
- 行列式を定義できる
- 逆行列を定義できる
という特徴を持っています（ただし，これらが定義できない特別な場合もあります）．
単位行列
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左上から右下への対角線が全て 1 で，
他の成分が全て 0 の正方行列を単位行列といいます．
単位行列は普通， $E$ という記号で表します．例えば $2 \times 2$ 正方行列の単位行列は
<tex>
\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
</tex>
で， $3 \times 3$ 正方行列の単位行列は
<tex>
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
</tex>
となります．
また，どんな $n \times n$ 正方行列に $n \times n$ 単位行列を掛けても変化しません．
つまり，正方行列を $A$ とすると
<tex>
AE=EA=A
</tex>
がいえます．この性質は数字の 1 と同じです．どんな数に 1 を掛けても，変化しませんよね．
逆行列
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行列の逆数に相当するのが逆行列です．正方行列 $A$ の逆行列を $P$ とすると
<tex>
AP=E
</tex>
が満たされます．ここで $E$ はさきほどの単位行列です．普通の数字で例えるなら
<tex>
7 \times 7^{-1} = 1
</tex>
ということと同じようなものです．
$2 \times 2$ 正方行列
<tex>
A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}
</tex>
の逆行列は以下の公式から求められます．
<tex>
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
</tex>
このように $A$ の逆行列は $A^{-1}$ と書きます．読み方は「えーいんばーす」が一般的です．
@@author: 崎間@@
@@accept: 2003-08-04@@
@@category: 物理数学@@
@@id:squareMatrix@@
記事ソース/正方行列の基本性質 の変更点
