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正多面体群３
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類別とラグランジェの定理の応用を、正多面体群を使って考えてみます。最初は、正六面体群を考えます。
正六面体群
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正六面体群 $P(6)$ について見てみましょう。正六面体の各頂点に $A_{1}$ から $A_{8}$ までの名前をつけることにします。正六面体群の元 $p$ の中には、全ての頂点を置換する変換と、特定の頂点を不動に保つ変換とがあります。
.. image:: Joh-CubeRev1.gif
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特定の頂点を不動に保つ変換とは、その頂点を通る対角線の回りに正六面体を回転させる変換です。例えば、いま仮に $A_{1}$ を不動に保つ変換 $g^{(1)}$ を考えると、 $g^{(1)}$ は常に $g^{(1)}(A_{1})=A_{1}$ を満たすということです。変換 $g^{(1)}$ は一つではありませんが、 $g^{(1)}$ の集合は $P(6)$ の部分群になることが示せます。
.. [*] 頂点 $A_{1}$ を不動に保つ変換の集合 $H$ に属する二つの元 ${g^{(1)}}_{1},{g^{(1)}}_{2}$ を考えるとき、これを連続的に作用させても頂点 $A_{1}$ はやはり動きません。すなわち、 ${g^{(1)}}_{1}{g^{(1)}}_{2} \in H$ が言えて、 $g^{(1)}$ 同士の積は閉じています。また ${g^{(1)}}_{1}$ の逆元は逆回転させることですが、これが $H$ の元であることは明らかでしょう。よって $H$ は群となり、 $P(6)$ の部分群だと言えます。
さて、 $H$ に属する変換には、恒等置換か、 $120$ 回すか、 $240$ 度回すか、の３種類しかありませんでしたので、 $|H|=3$ が言えます。この $H$ を使って、 $P(6)$ を類別しましょう。 $a_{i}$ を、頂点 $A_{1}$ を頂点 $A_{i}$ へ移す変換だとすると、 $P(6)$ は次のように類別できます。
<tex>
P(6)=H+a_{2}H+a_{3}H+a_{4}H+a_{5}H+a_{6}H+a_{7}H+a_{8}H
</tex>
従って、 $|P(6)|=|H| \times |P(6):H|=3 \times 8 = 24$ が分かります。
その他の正多面体群
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他の正多面体群も、同様の手法で位数を求められることを見ましょう。
.. csv-table:: 正多面体の頂点、辺、面
:header: "", "頂点の数","その頂点を不動に保つ変換の数","群の位数"
"正四面体", "4" ,"3","12"
"正六面体", "8","3","24"
"正八面体", "6","4","24"
"正十二面体","20","3","60"
"正二十面体","12","5","60"
ある頂点に対し、その頂点を不動に保つ変換の数( $|H|$ )は、その頂点に集まる辺の数と同じです。正六面体に対しては、対称群と対応させることですぐに解く方法が簡単でしたが( 正六面体群_ を参照)、正二十面体のように複雑なものには、視覚的に対称群を対応させるのは困難でした。ここで紹介した、剰余類分解を使う方法ならば、正二十面体でも一つの頂点だけに着目すれば良いので、視覚的にも簡単に計算できます。表中の頂点の数が $|P(i):H|$ にあたります。
.. image:: Joh-polygons.gif
:align: center
いろいろな見方があるもんですね！
.. _正六面体群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/CubicGroup/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: PolyhedronGroup3@@
記事ソース/正多面体群３ の変更点
