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色々な線積分
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ここまでに、スカラー関数の線積分と、ベクトル場の曲線に沿った線積分を考えました。
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\intop \limits _{L} fds \tag{1}
</tex>
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\intop \limits _{L} fd\bm{r} = \bm{e_{1}}\intop \limits _{L} fdx_{1} +\bm{e_{2}} \intop \limits _{L} fdx_{2} +\bm{e_{3}} \intop \limits _{L} fdx_{3} \tag{2}
</tex>
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\intop \limits _{L} \bm{A}\cdot d\bm{r} = \intop \limits _{L} A_{1}dx_{1}+A_{2}dx_{2}+A_{3}dx_{3} \tag{3}
</tex>
ベクトル場の線積分には、他の形もあります。式 $(3)$ は、積分の中身が内積の形になってものでしたが、線積分というのは、曲線に沿った積分領域を考えるということであって、被積分関数には色々あって良いのです。三次元ベクトルで基本的な演算には、内積の他にスカラー積と外積がありましたから、以下のような線積分を考えることもできます。
<tex>
\intop \limits _{L} \bm{A} ds = \bm{e_{1}} \intop \limits _{L} A_{1} ds+\bm{e_{2}} \intop \limits _{L} A_{2} ds+\bm{e_{3}} \intop \limits _{L} A_{3} ds \tag{4}
</tex>
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\intop \limits _{L} \bm{A} \times d\bm{r} =
\bm{e_{1}} \intop \limits _{L} (A_{2}dx_{3}-A_{3}dx_{2})
+\bm{e_{2}} \intop \limits _{L} (A_{3}dx_{1}-A_{1}dx_{3})
+\bm{e_{3}} \intop \limits _{L} (A_{1}dx_{2}-A_{2}dx_{1}) \tag{5}
</tex>
ポテンシャルという概念との相性の良さからか、物理の問題によく出て来るベクトル場の線積分の多くは式 $(3)$ の内積形ですが、この際、線積分には他にも色々あることをまとめて覚えてしまいましょう。一度に並べて眺めてみると、数学的には見通しが良くなると思います。
.. [*] 上記の $5$ つで、スカラーとベクトルの組み合わせとして『スカラー $\cdot$ スカラー』『スカラー $\cdot$ ベクトル』『ベクトル $\cdot$ ベクトル』『ベクトル $\cdot$ スカラー』『ベクトル $\times$ ベクトル』を網羅していることを確認してください。『ベクトル $\otimes$ ベクトル』なんていうのを知っている人もいるかも知れませんね。実際、そんな量の線積分を考えることも出来ます。いろいろあります。
線積分の計算
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既に スカラー関数の線積分_ で触れましたが、積分区間（つまり曲線）をパラメーター表示すると、実際の計算は簡単になります。合成関数の微分公式を使いましょう。
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\intop \limits _{L} fds = \intop \limits _{L} f \frac{ds}{dt}dt
</tex>
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\intop \limits _{L} fd\bm{r} = \intop \limits _{L} f \frac{d\bm{r}}{dt}dt
</tex>
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\intop \limits _{L} \bm{A}\cdot d\bm{r} = \intop \limits _{L} \left( \bm{A}\cdot \frac{d\bm{r}}{dt} \right) dt
</tex>
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\intop \limits _{L} \bm{A} d\bm{s} = \intop \limits _{L} \bm{A} \frac{d\bm{s}}{dt}dt
</tex>
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\intop \limits _{L} \bm{A} \times d\bm{r} = \intop \limits _{L} \left( \bm{A} \times \frac{d \bm{r}}{dt} \right) dt
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練習問題
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ベクトル場 $\bm{A}=x\bm{e_{x}}+ 2(x+z)\bm{e_{y}}+y\bm{e_{z}}$ を、始点を $(0,0,0)$ 、終点を $(1,2,2)$ とする線分に沿って線積分します。次の値を計算して下さい。
1. $\intop \limits _{C} \bm{A} ds$
2. $\intop \limits _{C} \bm{A} \cdot \bm{r}$
3. $\intop \limits _{C} \bm{A} \times \bm{r}$
こたえ：（１） $\frac{3}{2}\bm{e_{x}}+9\bm{e_{y}}+3\bm{e_{z}}$ （２） $\frac{17}{2}$ （３） $4\bm{e_{x}}-2\bm{e_{z}}$
.. _スカラー関数の線積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/LineIntegralScalar/
@@author:Joh@@
@@accept: @@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: LineIntegral3@@
記事ソース/色々な線積分 の変更点
