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集合の元同士を足す・掛ける
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この記事で勉強するのは、記号の書き方だけですので、特に難しいところは無いと思います。最後に、簡単な演習問題を載せておきます。
集合の元全てに何かを掛ける
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二つの集合 $K,L$ を考えます。このとき、 $K$ に含まれる元と、 $L$ に含まれる元の積をとり、それらを全部集めた集合を $KL$ もしくは $LK$ のように書きます。 $KL$ と $LK$ が両方あるのは、一般に積は可換ではないので、乗法の順序も重要だからです。
<tex>
KL=\{ kl|k\in K,l \in L \}
</tex>
<tex>
LK=\{ lk|k\in K,l \in L \}
</tex>
特に、 $K$ がたった一つの元 $a$ からだけなる集合 $K=\{a \}$ であった場合には、もう $K$ の代わりに $a$ と書いてしまった方が分かりやすいですから、次のように書きます。 $L$ の全ての元に、左から、もしくは右から $a$ を掛けた集合という意味です。
<tex>
aL=\{ al|l \in L \}
</tex>
<tex>
La=\{ la|l \in L \}
</tex>
一般に、 $K$ や $L$ が群でも、 $KL$ や $LK$ は群にならないことに注意してください。
逆元だけ集める
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次も、表記のルールです。集合 $K$ に含まれる各元に対し、その逆元だけを集めた集合を $K^{-1}$ と書きます。
元同士を足す
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特に、集合 $K$ と集合 $L$ の元の間に可換演算を考えるとき、この演算を加法の形で表現することができます。これを $K+L$ と書きます。集合同士の和集合 $K\cup L$ とは意味が違いますので注意してください。
<tex>
K+L=\{ k+l|k\in K,l \in L \}
</tex>
引き算も定義できます。
<tex>
K-L=\{ k-l|k\in K,l \in L \}
</tex>
これらは、記法の問題ですから、慣れが肝心です。群の類別を勉強し始めると、こうした書き方の集合がたくさん出てきます。
問題１
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一般に、 $K$ や $L$ が群でも、 $KL$ や $LK$ は群にはならないことを示してください。また、 $KL$ や $LK$ が群になるのはどのような場合でしょうか？
問題２
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もしも $K$ が群ならば、 $K^{-1}$ も群になることを示してください。
問題３
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群 $G$ が元 $a$ を含みます。このとき、 次のことをそれぞれ確認してみてください。
1. $aG=G$
2. $Ga=G$
3. $ G^{-1}=G$
問題４
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群 $G$ に含まれる任意の元 $x$ に対し、もし $x^{2}=e$ が成り立つならば、 $G$ は可換群であることを示してください。
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/CubicEquation/
.. _有限巡回群: http://www12.plala.or.jp/ksp/welcome/gismoSpace/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: SetManipulation@@
記事ソース/集合の元同士を足す・掛ける の変更点
