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管状ベクトル場
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ベクトル場 $\bm{A}$ をポテンシャル関数で表わせる場合、一般にはスカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\bm{X}$ を用いて、次のように表現されます。これを ヘルムホルツの定理_ と呼ぶのでした。
<tex>
\bm{A} = \nabla \phi + \nabla \times \bm{X} \tag{1}
</tex>
特に $\bm{A}=\nabla \phi$ と書ける場合を *層状ベクトル場* と呼びました。この記事では、逆に $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}$ と書ける場合を考えます。
管状ベクトル場
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ベクトル場 $\bm{A}$ が、ベクトルポテンシャルを用いて $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}$ と表わせるとき、これを *管状ベクトル場* $(solenoidal)$ と呼びます。管状ベクトル場では、 `divrot=0`_ の関係式より、至るところ ${\rm div}\bm{A}=0$ が成り立っています。発散が無いということは『流量が途中で増えたり減ったりすることが無い』ということですから、場の中に任意にとった流管内の流量は一定になります。恐らくこれが、『ホースの中の流れ』というイメージを喚起するので、管状ベクトル場と呼ぶのでしょう。（このイメージについては、 ベクトル場の流束と流管_ も参照してみて下さい。）
.. figure:: Joh-Turblar01.gif
流管内は、どの断面を取っても流量が一定。
管状を、別名 *回転的* と呼ぶ場合もあります。それは、場が ${\rm rot}\bm{X} \ne \bm{0}$ で表わされる流れによるからで、 $\bm{X}$ も一つのベクトル場ですから、空間内の至るところに、色々な向きや強さの回転が存在するということです。（回転の意味やイメージについては、 rot_ と `ベクトル奮闘記３`_ を参照下さい。）層状ベクトル場の定理と同様、管状ベクトル場には次の定理が成り立ちます。
.. admonition:: theorem
ベクトル場 $\bm{A}$ が管状であるための必要十分条件は、 $\nabla \cdot \bm{A} = \bm{0}$ となることです。
証明の中で、 $\bm{A}$ の成分 $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}=\left( \frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}, \ \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{1}}, \ \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}} \right) $ を使います。
.. admonition:: proof
必要条件は ${\rm divrot}=0$ より明らかです。十分条件を証明します。 $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}= $ で、まず $\bm{X}$ の第一成分 $X_{1}$ を任意の関数 $X_{1}=f(x_{1})$ とします。また、 $A_{2},A_{3}$ をそれぞれ $x_{1}$ で積分して $\int A_{2}=\int \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}} dx_{1} -X_{3}$ , $\int A_{3}= X_{2} - \int \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}} dx_{1}$ を得ます。 $\int \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}} dx_{1} -X_{3}$ と $\int \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}} dx_{1}$ は何か適当な、 $x_{2},x_{3}$ を変数とする関数と置き、 $X_{2}=\int A_{3}dx_{1} + \phi (x_{2},x_{3})$ , $X_{3}= - \int A_{2}dx_{1} + \psi (x_{2},x_{3})$ を得ます。ただし、 $\phi(x_{2},x_{3}), \ \psi(x_{2},x_{3})$ には、 $A_{1}$ の表式 $A_{1}=\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}$ を満たす、という条件が付きます。（この条件を満たす限りで $\phi , \ \psi$ は任意です。）このように定めた $X_{2},X_{3}$ を使って、 $A_{1}$ を表わすと次のようになります。 $A_{1}=- \int \frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}dx_{1} + \frac{\partial \psi }{\partial x_{2}}- \int \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}dx_{1}- \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} $ $(*)$ 。一方、 ${\rm div}\bm{A}$ より、 $\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}=0$ ですから、 $A_{1}$ だけ移項して両辺を積分すると、 $A_{1}=- \int \frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}dx_{1} - \int \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}dx_{1}$ を得ます。 $(*)$ と見比べて、結局 $\frac{\partial \psi }{\partial x_{2}}- \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}=0$ が要請されます $(**)$ 。ここまでの結果を使うと、 $\bm{X}=(f(x_{1}), \ \int A_{3}dx_{1}+\phi , \ - \int A_{2}dx_{1}+\psi )$ と書けます。（ただし、 $\phi ,\psi$ は $(**)$ を満たすとします。）この $\bm{X}$ は確かに $\bm{A}$ のベクトルポテンシャルになっており、定理が満たされます。■
ベクトルポテンシャルについて
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任意のスカラー関数に対して $\nabla \times (\nabla \phi )=\bm{0}$ が成り立つことを考えると、ベクトルポテンシャルには、 $\nabla \phi$ の形の差は許されることになります。
<tex>
\nabla \times \bm{X} = \nabla \times (\bm{X} + \nabla \phi)
</tex>
演習問題
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ベクトル場 $\bm{A}$ が層状のとき、 $\bm{A} \times \bm{r}$ は管状になることを示して下さい。
ベクトルポテンシャルの求め方
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ベクトル場 $\bm{A}=(A_{x}(x,y,z),A_{y}(x,y,z),A_{z}(x,y,z))$ を $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}$ と表現できるとします。このとき、 $\bm{X}(x,y,z)$ は次のように表わすことが可能です。
<tex>
\bm{X} = \bm{e_{x}} \left[
\int_{z_{0}}^{z} A_{2} dz
\right] +
\bm{e_{y}}
\left[
\int_{x_{0}}^{x}A_{3} dx
- \int_{z_{0}}^{z}A_{1} dz
\right] \tag{2}
</tex>
式 $(2)$ の右辺の回転を実際に取り、この形が $\bm{A}$ のベクトルポテンシャルになっていることを確認してみて下さい。
.. _ヘルムホルツの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/HelmholtzTheorem/
.. _rot: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/VectorRotation/
.. _`ベクトル奮闘記３`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vecFuntou3/
.. _ベクトル場の流束と流管: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/
.. _`divrot=0`: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/ddw=0/VectorFieldFlux/
@@author:Joh@@
@@accept: @@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Solenoidal@@
記事ソース/管状ベクトル場 の変更点
