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∫1/√(x^2+a^2)dxの計算
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この記事では、 $\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$ を求めます。
本（下に紹介しておきます）を読んでいたら、この積分は $\sqrt{x^2+a^2}=t-x$ と変数変換をすると書いてありました。どうやったらそんな置き方を考え付くの？と悩んでいたのですが、ふと、
<tex>
\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\dfrac{x}{a}+C \tag{##}
</tex>
を、虚数単位を用いて $x \to ix$ と置き換えたらいいのではないか？と思いました。そしたら、右辺は $\sinh\dfrac{x}{a}$ になるかな？と思ったら、どんぴしゃり！そうなるようです。さて、今示したいのは、 $a>0$ として、
<tex>
\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a}+C \tag{##}
</tex>
です。右辺を $y=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a}$ と置き、微分すれば、左辺の被成分関数となることを確認すればよいでしょう。やってみると、
<tex>
y&=\sinh^{-1}\dfrac{x}{a} \\
\sinh y &= \dfrac{e^y - e^{-y}}{2} = \dfrac{x}{a} \\
e^{2y} &- \dfrac{2x}{a}e^y -1 = 0 \\
e^y &= \dfrac{x}{a} \pm \sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}+1} \\
e^y &= \dfrac{x}{a} + \sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}+1} (\because e^y > 0 ) \\
y&= \log (x + \sqrt{x^2+a^2})-\log a \tag{##}
</tex>
であり、なんと、 $\sinh^{-1}\dfrac{x}{a} = \log (x + \sqrt{x^2+a^2})-\log a$ であることが分かりました。しかも、この式の右辺の $x + \sqrt{x^2+a^2}$ は、本で天下り的に示されていた $t=x + \sqrt{x^2+a^2}$ ですね。やっと、結びつきました。更に進むと、
<tex>
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{x + \sqrt{x^2+a^2}} \\
&= \dfrac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{x + \sqrt{x^2+a^2}} \cdot \dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{\sqrt{x^2+a^2}} \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \tag{##}
</tex>
となりました。確かに $y$ の微分が被積分関数になっていますね。
まとめ
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覚えやすいように、他の積分と比較できるようにまとめておきます。いきなり書きますが、良い練習問題になると思います。まずは、右辺を $y$ に等しいと置いて、 $\dfrac{dy}{dx}$ を求めるのです。ちなみに $a>0$ としておきます。
<tex>
\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx &= \sin^{-1} \dfrac{x}{a} +C \\
\int \dfrac{-1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx &= \cos^{-1} \dfrac{x}{a} +C \\
\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx &=\dfrac{1}{a} \tan^{-1} \dfrac{x}{a} +C \\
\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx &= \sinh^{-1} \dfrac{x}{a} +C \\
\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx &= \cosh^{-1} \dfrac{x}{a} +C \\
\int \dfrac{1}{a^2-x^2}dx &= \dfrac{1}{a}\tanh^{-1} \dfrac{x}{a} +C \tag{##}
</tex>
これを求める際、得られた等式は以下の様になります。双曲関数は簡単ですが、三角関数は複素関数の知識がないとできないようです。
<tex>
\sinh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \log(x+\sqrt{x^2+a^2}) - \log a \\
\cosh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \log(x+\sqrt{x^2-a^2}) - \log a \\
\tanh^{-1} \dfrac{x}{a} &= \dfrac{1}{2} \log \dfrac{a+x}{a-x} \tag{##}
</tex>
それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@reference: 金子晃監修 中島多加子・米山実希著,積分計算そのまま使える答えの書き方,講談社サイエンティフィク,2002,p75,4061539744@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-10-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:difOfSqrt(x^2+a^2)@@
記事ソース/∫1/√(x^2+a^2)dxの計算 の変更点
