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分数で表現した中国の剰余定理
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整数論の分野では当然のことのように分数は使われていないが，以外に分数による表現が分かりやすいことが
あります．その例として，中国の剰余定理やガロア拡大体を分数式で説明します．
中国の剰余定理とは
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簡単のため 整数 $a$ を正の整数 $b$ で割った剰余 $a \bmod b$ を $|a|_{b} (0 \leq |a|_{b} < b)$ で
表わします． $|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$ である $|a|_{15}$ は，中国の剰余定理を用いて
<tex>
|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}
</tex>
で求められます．この 10 と 6 を詳しく書くと， $10 = 5 \times |3|_{3}^{-1}$, $6 = 3 \times |5|_{5}^{-1}$
です．ここで $|3|_{3}^{-1}$ は $|3 x|_{3} = 1$ となる $x$ （3 を法とする逆元）を意味します．また，
$|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$, $|a|_{7} = d$ である $|a|_{15}$ （ $3 \times 5 \times 7 = 105$ ）は
<tex>
|a|_{105} = | 70 b + 21 c + 15 d|_{105} \\
70 = 5 \times 7 \times |3|_{35}^{-1} \\
21 = 3 \times 7 \times |5|_{21}^{-1} \\
15 = 3 \times 5 \times |7|_{15}^{-1} \\
</tex>
です． $m$, $n$ が互いに素であれば
<tex>
m x + n y = 1
</tex>
となる整数 $x$, $y$ が存在するという有名な性質を使って，上記の式を導いてみましょう．
分数による表現
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以下では，有理数 $r$ の整数部を $\Gamma r$, 小数部 $\Delta r$ ( $0 \leq \Delta r < 1$ ) で
表わします．例えば
<tex>
\Gamma \left(-\frac{8}{3} \reight) = -3, ~~~~\Delta \left(-\frac{8}{3} \reight) = \frac{1}{3}
</tex>
です．
modulo のバックアップソース(No.3)
