#rst2hooktail_source ================================== 分数で表現した中国の剰余定理 ================================== 整数論の分野では当然のことのように分数は使われていないが,以外に分数による表現が分かりやすいことが あります.その例として,中国の剰余定理やガロア拡大体を分数式で説明します. 中国の剰余定理とは ================================== 簡単のため 整数 $a$ を正の整数 $b$ で割った剰余 $a \bmod b$ を $|a|_{b} (0 \leq |a|_{b} < b)$ で 表わします. $|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$ である $|a|_{15}$ は,中国の剰余定理を用いて <tex> |a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15} </tex> で求められます.この 10 と 6 を詳しく書くと, $10 = 5 \times |3|_{3}^{-1}$, $6 = 3 \times |5|_{5}^{-1}$ です.ここで $|3|_{3}^{-1}$ は $|3 x|_{3} = 1$ となる $x$ (3 を法とする逆元)を意味します.また, $|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$, $|a|_{7} = d$ である $|a|_{15}$ ($3 \times 5 \times 7 = 105$)は