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分数で表現した中国の剰余定理
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整数論の分野では当然のことのように分数は使われていないが,以外に分数による表現が分かりやすいことが
あります.その例として,中国の剰余定理やガロア拡大体を分数式で説明します.
中国の剰余定理とは
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簡単のため 整数 $a$ を正の整数 $b$ で割った剰余 $a \bmod b$ を $|a|_{b} (0 \leq |a|_{b} < b)$ で
表わします. $|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$ である $|a|_{15}$ は,中国の剰余定理を用いて
<tex>
|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}
</tex>
で求められます.この 10 と 6 を詳しく書くと
で求められます.この 10 と 6 を詳しく書くと, $10 = 5 \times |3|_{3}^{-1}$, $6 = 3 \times |5|_{5}^{-1}$
です.ここで $|3|_{3}^{-1}$ は $|3 x|_{3} = 1$ となる $x$ (3 を法とする逆元)を意味します.また,
$|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$, $|a|_{7} = d$ である $|a|_{15}$ ($3 \times 5 \times 7 = 105$)は