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分数で表現した中国の剰余定理
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整数論の分野では当然のことのように分数は使われていませんが，以外に分数による表現が分かりやすいことが
あります．その例として，中国の剰余定理やガロア拡大体を分数を用いて説明します．
中国の剰余定理とは
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簡単のため 整数 $a$ を正の整数 $b$ で割った剰余 $a \bmod b$ を $|a|_{b} ~~(0 \leq |a|_{b} < b)$ で
表わします． $|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$ である $|a|_{15}$ は，中国の剰余定理により
<tex>
|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}
</tex>
で求められます．この 10 と 6 を詳しく書くと， $10 = 5 \times |3|_{3}^{-1}$, $6 = 3 \times |5|_{5}^{-1}$
です．ここで $|3|_{3}^{-1}$ は $|3 x|_{3} = 1$ となる $x$ （3 を法とする逆元）を意味します．また，
$|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$, $|a|_{7} = d$ である $|a|_{105}$ （ $3 \times 5 \times 7 = 105$ ）は
<tex>
|a|_{105} = | 70 b + 21 c + 15 d|_{105}
</tex>
<tex>
70 = 5 \times 7 \times |3|_{35}^{-1} \\
21 = 3 \times 7 \times |5|_{21}^{-1} \\
15 = 3 \times 5 \times |7|_{15}^{-1}
</tex>
です． $m$, $n$ が互いに素であれば
<tex>
m x + n y = 1
</tex>
となる整数 $x$, $y$ が存在するという有名な性質を使って，上記の式を導いてみましょう．
分数による表現
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以下では，有理数 $r$ の整数部を $\Gamma r$, 小数部 $\Delta r$ ( $0 \leq \Delta r < 1$ ) で
表わします．例えば
<tex>
\Gamma \left(-\frac{8}{3} \right) = -3, ~~~~ \Delta \left(-\frac{8}{3} \right) = \frac{1}{3}
</tex>
です． $5 x + 3 y = 1$ は
<tex>
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = \frac{1}{15}
</tex>
と書き換えることができるので，
<tex>
\Delta \left( \frac{x}{3} + \frac{y}{5} \right) = \frac{1}{15}
</tex>
となる $x$ ( $0 \leq x <3$ ), $y$ ( $0 \leq y <5$ ) が存在し，
<tex>
\Delta \left( \frac{5 x}{3} + y \right) = \Delta \frac{2 x}{3} = \frac{1}{3}
</tex>
から， $x = 2$ であることが分かります．同様に $y = 2$ であることも分かり，
<tex>
\Delta \left( \frac{2 a}{3} + \frac{2 a}{5} \right) = \Delta \frac{a}{15}
</tex>
が得られます．
<tex>
\Delta \frac{2 a}{3} = \Delta \left(2 \Gamma \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{a}{3} \right)
= \Delta 2 \Delta \frac{a}{3}
</tex>
ですから，上記の式を
<tex>
\Delta \left(2 \Delta \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{a}{5} \right) = \Delta \frac{a}{15}
</tex>
と書き換えることができます．これが分数で表現した中国の剰余定理です．
先に示した $|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}$ に
<tex>
b = 3 \Delta \frac{a}{3}, ~~~~ c = 5 \Delta \frac{a}{5}
</tex>
を代入すると
<tex>
15 \Delta \frac{a}{15} = 15 \Delta \frac{10 \cdot 3 \Delta \frac{a}{3} + 6 \cdot 5 \Delta \frac{a}{5}}{15}
= 15 \Delta \left( 2 \Delta \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{a}{5} \right)
</tex>
となり，上式と等価であることを確認できます． $|a|_{105} = | 70 b + 21 c + 15 d|_{105}$ については
<tex>
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = \frac{1}{15}, ~~~~ \frac{w}{15} + \frac{z}{7} = \frac{1}{105}
</tex>
から
<tex>
\frac{w x}{3} + \frac{w y}{5} + \frac{z}{7} = \frac{1}{105}
</tex>
となる $w x$, $w y$, $z$ を 2, 1, 1 として
<tex>
\Delta \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) = \Delta \frac{106}{105} = \frac{1}{105}
</tex>
<tex>
\Delta \left(2 \Delta \frac{a}{3} + \Delta \frac{a}{5} + \Delta \frac{a}{7} \right) = \Delta \frac{a}{105}
</tex>
が得られます．
ユークリッドの互助法
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modulo のバックアップソース(No.13)
