執筆中/数学のレシピ (1) (K.I.著)/3 のバックアップ(No.10)
執筆中/数学のレシピ (1) (K.I.著)/3 のバックアップ(No.10)
| ページ | 執筆中/数学のレシピ (1) (K.I.著) |
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| 投稿者 | クロメル |
| 状態 | |
| 投稿日 | 2007-05-31 (木) 21:37:32 |
誰もが一度は心に思い描く、しかし９割の人は実行しない（私もその中の一人です）数学の基礎からの組み立てですね。本物をみるのは初めてですよ。一度で読むには多すぎるので、少しずつ感想を書いていこうと思います。
(1) 命題論理の記号と文法
まず自然数を考えて、足し算や引き算等の演算によって広がっていく世界の事かなと思ってみたら、なんと言語、文法からの構築なのですね。公理が最小限ですっきりとした印象をもちました。これから、これがどのように意味を持たせていくか楽しみです。
(2) 命題論理の公理系と推論規則
公理系の節に「数学の公理系も どの世界でも明らかに成り立つわけではないことに注意して下さい．」とありますが、「しかし、その世界においてはその公理は証明はできないが「正しいもの」 [*]_ なのです。」みたいな文章を追加できませんか？
以下に書く、註も付けてくださるとうれしいです。（間違っていないか不安ですが（＾＾；）現実世界で正しい推論には何か根拠ってありましたっけ？）
..[*] :ここで「正しい」という言葉を使いましたが、これはこれから体系M_0内で正しい論理と正しくない論理を判断したい時に正しい論理を規定するものです。我々はのちに体系M_0に現実の論理と対応させて意味を持たせたいのですが、現実では明らかに正しい論理がありますね。体系M_0が現実世界で正しい推論を正しいと判断することができるように、我々は慎重に公理を選ばねばなりません。もちろん、選ぶ公理や推論規則（これについては後述します）によっては現実世界では明らかに間違っている（と思われる）論理を正しいと判断してしまいます。
次に推論規則の節ですが、すこし話が分かりにくいなと思ったので、説明の文章をこうしたらいいのではないかという案を考えてみました。[]部分が私が変えたところです。
体系M_0において，理論を出発させる[証明できないが正しいものという]前提として前述の公理系 (命題論理の公理系) を導入しました．[しかしまだ体系M_0には、これら公理という前提(premise)から正しく推論(inference)して正しい論理式を作り出す方法（推論規則）がありません。][そして、その推論による結論となる論理式は]常に正しい事が担保されていなければ正しい推論[体系]とは言えませんね．そこで，体系M_0における命題論理の推論規則を導入します．
(3) 命題論理の形式的証明論 (1)
(4) 命題論理の形式的証明論 (2)
(5) 命題論理の形式的証明論 (3)
(6) 命題論理の意味論
(7) 命題論理の健全性
(8) 命題論理の内容的完全性
