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ドップラー効果3
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音源が $x$ 軸上，観測者が $xy$ 平面上をを等速度運動をしているときの
ドップラー効果について考えましょう．同一直線上を等速度運動する場合
については tomo 氏の分かりやすい解説 [1],[2] がありますので，
まずそちらをご覧ください．
一般の場合も相対速度で考えますか？
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以下では，音速を $V$ ，時刻 $t$ における音源（source）の位置を
$\bm r_{\rm s}(t)=(v_{\rm s}t, 0)$ ，観測者（observer）の位置を
$\bm r_{\rm o}(t)=(d - v_{\rm o}t \cos \theta, v_{\rm o}t \sin \theta)$ とします．
時刻 $t$ での音源の振動を
<tex>
g(t) = A \cos 2 \pi \frac{t}{T} \hspace{2zw} \left( f_{\rm s} = \frac{1}{T} \right)
</tex>
とすると，時刻 $t_1$ に音源から出た音の波面（位相が等しい点の集合）は，中心が
$\bm r_{\rm s}(t_1)$ ，半径が $V \cdot (t - t_1) \hspace{1zw} (t > t_1)$ の
球面となって空間に拡がります．この波面が観測者に届く時刻を $t_2$ とすると，
$t_1$, $t_2$ の間には
<tex>
| \bm r_{\rm o}(t_2) - \bm r_{\rm s}(t_1) | = V \cdot (t_2 - t_1)
</tex>
という関係が成立しているはずです．また $t_1 + T$ に音源から出た音の波面が
観測者に届く時刻を $t_3$ とおくと， $t_3 - t_2$ が観測者が聴く音の周期
（振動数の逆数）になります．
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig1.gif
図１． $x$ 軸上の同位相の点
一般に，時刻 $t_1$, $t_2$ に観測者と同じ波面が届く $x$ 軸上の点は
上図のような円弧と $x$ 軸の交点で求まりますが，
<tex>
| v_{\rm o} t \sin \theta | \ll | d - v_{\rm s} t |
</tex>
のときは，これらの円弧を $x$ 軸に垂直な線分とみなすと [*]_ ，よく知られた
観測者が聴く音の振動数 $f_{\rm o}$ の近似式
<tex>
f_{\rm o} \simeq \frac{V + v_{\rm o} \cos \theta}{V - v_{\rm s}} f_{\rm s}
</tex>
が得られます．この式を導くとき，通常 $v_{\rm o}$ によって音の相対速度が変わる
として説明しています．この説明は波面を平面波で近似できるときは分かりやすいのですが，
図１から予想できるように，平面波で近似しないときに相対速度を考えようとするのは無益です．
.. [*] $| v_{\rm o} | > 0$, $0 < \theta < \pi$ として，右辺を底辺の長さ，
左辺を高さとする三角形を考えてください．
同一直線上を移動するときの時空間モデル
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ここでは一般化のための準備として，「相対速度」を考えない（音速はいかなる場合も $V$
であるとした）モデルで $\theta = 0$ のときのドップラー効果の公式を導く方法を示します．
$xy$ 平面状に波面を描いた図はドップラー効果の本質を理解する上では重要ですが，
観測者が聴く音の振動数（あるいはその逆数の周期）を求める計算では， $x$ 軸上の
波の位相だけを考えれば十分です．このため， $x$ 軸と垂直に $t$ 軸をとって
$x$ 軸上の波の位相の時間的変化を図示した図２のようなモデルを考えます．
ここで，白丸は波面の位相が $\pi$ の偶数倍，白丸は奇数倍の点を表しています．
右端の斜線は観測者の移動に対応する線で（ $x$ 軸に平行に移動して考えてよい），
この斜線上の隣接する白丸間の $t$ 軸方向の長さが観測者が聴く音の周期（観測者の
耳にある波の山が到着してから次の山が到着するまでの時間） $T_{\rm o}$ に等しく
なっています．また，左端の斜線は音源の移動を表しています．この斜線上の点で
出された音の波面は時間 $t$ 経過すると $x$ 軸方向に距離 $Vt$ だけ進んだ点に
移動していることを，$t = T/4, T/2, 3T/4$ 等の場合について確認してください．
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig2.gif
図２． 時空間モデルによる公式の導出
図２の二つの相似な三角形について
<tex>
\frac{T_{\rm o}}{T} = \frac{(V - v_{\rm s}) T}{(V - v_{\rm s} + v_{\rm s} + v_{\rm o}) T} =
\frac{V - v_{\rm s}}{(V + v_{\rm o}) T}
\frac{T}{T_{\rm o}} = \frac{(V - v_{\rm s} + v_{\rm s} + v_{\rm o}) T}{(V - v_{\rm s}) T} =
\frac{V + v_{\rm o}}{V - v_{\rm s}}
</tex>
が成立することが分かります．これがよく知られたドップラー効果の公式です．
観測者が聴く音の周期の求め方
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.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig3.gif
図３．
あとがき
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本資料で述べた一般化に実用的価値はあまりありませんが，何が本質的に
重要かを考えてモデルを作るときの一例として参考になれば幸いです．
@@reference: www12.plala.or.jp/ksp/wave/dopplerEffect1/,物理のかぎしっぽ，ドップラー効果1@@
@@reference: www12.plala.or.jp/ksp/wave/dopplerEffect2/,物理のかぎしっぽ，ドップラー効果2@@
@@author: pulsar@@
@@accept: @@
@@category: 波と振動@@
@@id: @@
執筆中/ドップラー効果3(pulsar著) のバックアップ差分(No.20)
