執筆中/ドップラー効果3(pulsar著) のバックアップ(No.15)
執筆中/ドップラー効果3(pulsar著) のバックアップ(No.15)
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ドップラー効果3
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音源が $x$ 軸上，観測者が $xy$ 平面上をを等速度運動をしているときの
ドップラー効果について考えましょう．同一直線上を等速度運動する場合
については tomo 氏の分かりやすい解説 [1],[2] がありますので，
まずそちらをご覧ください．
一般の場合も相対速度で考えますか？
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以下では，音速を $V$ ，時刻 $t$ における音源（source）の位置を
$\bm r_{\rm s}(t)=(v_{\rm s}t, 0)$ ，観測者（observer）の位置を
$\bm r_{\rm o}(t)=(d - v_{\rm o}t \cos \theta, v_{\rm o}t \sin \theta)$ とします．
時刻 $t$ での音源の振動を
<tex>
g(t) = A \cos 2 \pi \frac{t}{T} \hspace{2zw} \left( f_{\rm s} = \frac{1}{T} \right)
</tex>
とすると，時刻 $t_1$ に音源から出た音の波面（位相が等しい点の集合）は，中心が
$\bm r_{\rm s}(t_1)$ ，半径が $V \cdot (t - t_1) \hspace{1zw} (t > t_1)$ の
球面となって空間に拡がります．この波面が観測者に届く時刻を $t_2$ とすると，
$t_1$, $t_2$ の間には
<tex>
| \bm r_{\rm o}(t_2) - \bm r_{\rm s}(t_1) | = V \cdot (t_2 - t_1)
</tex>
という関係が成立しているはずです．また $t_1 + T$ に音源から出た音の波面が
観測者に届く時刻を $t_3$ とおくと， $t_3 - t_2$ が観測者が聴く音の周期
（振動数の逆数）になります．
.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig1.gif
図１． $x$ 軸上の同位相の点
一般に，時刻 $t_1$, $t_2$ に観測者と同じ波面が届く $x$ 軸上の点は
上図のような円弧と $x$ 軸の交点で求まりますが，
<tex>
| v_{\rm o} t \sin \theta | \ll | d - v_{\rm s} t |
</tex>
のときは，これらの円弧を $x$ 軸に垂直な線分とみなすと [*]_ ，よく知られた
観測者が聴く音の振動数 $f_{\rm o}$ の近似式
<tex>
f_{\rm o} \simeq \frac{V + v_{\rm o} \cos \theta}{V - v_{\rm s}} f_{\rm s}
</tex>
が得られます．この式を導くとき，通常 $v_{\rm o}$ によって音の相対速度が変わる
として説明しています．この説明は波面を平面波で近似できるときは分かりやすいのですが，
図１から予想できるように，一般の場合に相対速度を考えようとすると混乱します．
.. [*] $| v_{\rm o} | > 0$, $0 < \theta < \pi$ として，右辺を底辺の長さ，
左辺を高さとする三角形を考えてください．
同一直線上を移動するときの時空間モデル
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.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig2.gif
図２．
観測者が聴く音の周期の求め方
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.. figure:: pulsar-Doppler3-Fig3.gif
図３．
あとがき
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@@reference: www12.plala.or.jp/ksp/wave/dopplerEffect1/,物理のかぎしっぽ，ドップラー効果1@@
@@reference: www12.plala.or.jp/ksp/wave/dopplerEffect2/,物理のかぎしっぽ，ドップラー効果2@@
@@author: pulsar@@
@@accept: @@
@@category: 波と振動@@
@@id: @@
