式(2)はクールだなぁ †
メッセージ †
式(2) †
速度場を小さな領域に線積分して，面積の比を取ったものがローテーションなんだ！ これはとてもすんなりと，目と耳とから理解できると思います．
大きな渦は「小さな渦の輪の総和」としての大きな輪という様に思っても良いのでしょうね？
式(2)は解像度の高いVDTだと問題ないですが，解像度が低いと，下地が青になって式が見えなくなります．先頭の左辺を別途に定義するか，言葉で定義して展開するとか？
回転の定義 †
(縦ベクトル) X (縦ベクトル) は一寸ドキッとします．判りますけど...．
渦の強さ †
「ちはやぶる...」の絵は，やはり，流れが動き，葉っぱも揺らぐか，回転するかして欲しいじゃん．
もう一度，式(2) †
- 右辺の第1式と第2式(��ｘ，��yなどの縦ヴェクタが急に出る）が唐突，不親切．
- その下の編微分が作用する縦ヴェクタも唐突，不親切．
ここの式の変形は「この式の臍」なのだから，もっと自然に，目の前を数式が流れるように書いて欲しいと思います．
また，式(2)のまえの定義式群；V(Pi), j=1..4; には微少量記号o(��y^2）等が合っても，しかたないと思いますが，その後は省略するよ，と言っていただくと，「かぎや〜」と声援が飛びます(笑)．
実例の解説 †
物理数学の醍醐味は，その式を自然現象と結びつける事だと，開眼しました．
＃今頃，開眼しても遅いのですが．
恐らく，「数式の証明」と「自然現象の記述」とがセットになって，初めて記憶が強化されるのでしょう．両者の間をイメージで取り持つ「グラフィックス」も大切な訳ですね．
その他 †
物理数学を一通り学んだ人が，中級から上級にステップ・アップする参考に最適と思います．
初級者には理解し難いクールな説明を，しかし，流れるような華麗な数式表現でプレゼンテーションする，空飛ぶ解説者，Johさんの健闘を！
返答 †
- 縦ベクトル同士の外積は、何が問題ですか？？？ ちはやぶる、は動画にしたいところですが、私は動画が作れません。できたら、お願いします。式（２）は、その前の式を代入しているだけなんですが、不親切というなら、表現を変えないといけないですね。どう不親切ですか？その前に既出なので、唐突ではないと思うのですが。。。 o(��y^2）を省略することはしません。これは、省略するんじゃなくて、最後にlimを取ると０になるんです。ですから、limの前で、いい加減に省略してしまうことは出来ません。公式を使うには、なによりも直観的な理解が必要だというのが私の哲学です。私も、難しい数学は苦手です。 -- Joh
意見2 mNeji? †
縦ベクトル同士 †
これは，自分の考え方がいけないのかもしれませんが，ヴェクタの成分を括弧で括る表示にであうと，正方マトリックス(Mij)・1列ヴェクタ(xj)の演算規則を反射的に思い浮かべます．そして，マトリックスの「i」行目の1行ヴェクタ(Mij)と1列ヴェクタ(xj)との内積演算までが連想されます．
この考え方が，特に実空間(我々の生活空間のヴェクタ；3 or 2次元)の演算に強く出ます．その為にヴェクタの外積においても，一旦
と受け止めて，次に行列式の表示を思い浮かせます．
演算子が違うだけで，それまでの心理的操作は，常に「(横ヴェクタV1)■(縦ヴェクタV2）」のプロセスを経由します．
この心理的操作は，量子力学の波動関数で，状態の固有関数展開でも同様です．固有関数そのもの自体，<a| と |b> は正にそのまま，基底の横ヴェクタと縦ヴェクタとしてイメージしてますし，ある演算子の基の固有値関数のによる展開係数の作る抽象ヴェクタ，例えば共役横ベクタ=^*(cj)と帰すと
|ψ>=��cj|aj>=��^*(cj)|aj>
の様にイメージが連鎖します．これは，物理量は基底と強度係数との内積であるという，深層に横たわる強い心理的イメージだろうとおもいます．
当然，固有関数|ak>と|ψ>との内積をとれば，
＜ak|ψ>=<ak|��^*(cj)|aj>=��^*(cj)<ak|aj>=ckの共役
となります．これは，ヴェクタ解析〜量子力学を狭い範囲の教科書をみて独習に近い勉強をしたための妄想かもしれません．しかし，このイメージで考えると，フーリエ積分の複素形式は同様の処理で理解できます．
- 自分の場合は，楽器の周波数分析をするためにフーリエ解析を始め，三角関数が嫌いで「理論電磁気学」のフーリエ積分にはまりました．
- 量子力学は，複素形式のフーリエ展開とみなして話を聞いていました．
でも，物理でも，テンソル形式の表現が先になって，古いイメージは通用しなくなるのでしょうね．
動画 †
残念なことに，漸く2次元の作図がよちよちできるようになっただけです．動画を動かせるまでは1年のオーダが必要でしょう．
他の方のボランティアをお願いします．
- その前の式を代入しているだけなんですが
- 表現を変えないといけないですね。どう不親切ですか？
- その前に既出なので、唐突ではないと思うのですが。。。
私の言いたいことを，Johさんが代弁してくださっています．様は，その障害点をどんな方向から眺めるかだとおもいます．
かりに「障害課題」が「うちわ」のよう平たいとして，横から眺めていては問題が認識されません．むしろ，上級者は障害点が最小になるような理解のスラロームを本能的に選んで理解運動をされているのだろうと思います．
ですから，Johさんの場合，なにかを解説するばあい，細かな点はおいておいて，一番クールな説明をしてしまう．それを見た初級者・中級者からみた「障害課題」の断面積の多い部分を修正すれば，初心者・中級者における理解度を改善できるのだとおもいます．
で，もう一度初めから意見を述べます．
- その前の式を代入しているだけなんですが
- 解説者にとって自明な式も，読者にとって自明ではありませんよ．
- 事前の式に番号をふり「式(88)」，何処そこに式(88)を其々代入し
- それを代入した式を示し(これで読者は，式(88)と見比べて，安心し)
- それを縦ヴェクタに変形し(これを見て，あ，ヴェクタの演算だと頭が動きだし)
これ以上書くと，Johさんの頭が暴走しようなので割愛します．
でも，ある種，訓練を受けていない人々は，このように丁寧に行間を埋めることによって，飛躍的に理解力が高まります．
むかし，量子力学や相対論で活躍したP.A.M.ディラックさんの論文はいくら読んでもチンプンカンプンでした．いまから思うに，かれの論文は，とてもシンプルなアイデアからポツンと出てきてしまったので，あまりにも自明だから説明しなかったのだとおもいます．ある先輩は，水素原子の波動方程式の相対論化の論文の輪講で，わたしが因数分解？と聞いたらとても怒りました．お前は，行間を読む努力をしないで，安易に走る馬鹿だ！といわれました．それ以降，量子力学への興味が大幅に低下しました．それで善かったようですね．
微少量 †
Johさん曰く：
- o(��y^2）を省略することはしません。これは、省略するんじゃなくて、最後にlimを取ると０になるんです。
ここら辺は，「高次の微少量は，微小面積で規格化し，その極限を取ることでゼロになるので省略する．」といった説明をつければ，正確性を崩さないですむとおもいます．でも，強く主張はしません．
でも気になるのはlim_{��x→0,��ｙ→0)[o(��y^2）/ ��x��y]=0 が自明だと思えないのです．��xと��yはおのおのが微小でも，独立変数ですよね．
- そうか，本当は，これが納得行かなかったのかもしれません．素直な質問もけっこう難しいもんですね．
- 式（２）はもうすこし行間を埋めるように改善します。（私は、常に初心者にも分かりやすい説明を心がけていますが、暴走しているように見えるようなので、これは戒めの言葉として拝聴いたします。） ��の極限の部分ですが、もしかして、mNejiさんは、今までこのような微小量の極限をいい加減にしてきませんでしたか？日本語で「高次の微少量は，微小面積で規格化し，その極限を取ることでゼロになるので省略する．」と書くだけで納得するのと、実際に計算して高次項が消えるのを確認するのでは、理解に大きな違いがあり、私は後者のアプローチがより重要と考えます。恐らく、mNejiさんは、��をあまり式中に見たくないだけでなのではないかと勝手に推察しますが、こだわっている理由をよければ教えて下さい。 -- Joh
- ベクトルのことですが、確かに、ベクトルの内積を行列の積に対応させ、内積を横ベクトル・縦ベクトルと見ると、共変ベクトルと反変ベクトルの内積がスカラーになるということがよく分かります。（縦と横が双対だというのは、視覚的にも非常に分かりやすいですしね。） しかし、行列の積をそのまま使うなら、縦ベクトル・横ベクトルの内積は、二階のテンソルになるはずですね？しかし、ベクトルの内積は可換なはずです。では、「縦ベクトル・横ベクトルの場合には、全体の転置をとる」と但し書きをつけてもよいでしょう。でも、だんだん内積の定義が複雑になっていってしまいます。。。。 元に戻って、ベクトルの内積は、縦・縦、横・横、縦・横、横・縦のどの組み合わせでも良い、としてしまうのが簡単ですし、実際そうなっていると思います。（数ベクトルの内積の定義をご確認ください。） 横・縦とかいうのは、あくまで、双対空間を実感するための例だと思います。もちろん、量子力学に出てくるような関数の内積やフーリエ解析に対し、双対空間のイメージを持っていることは素晴らしいことです。さて、ずっと内積の話を書きましたが、外積は、全然違うものです。mNejiさんの「心理的抵抗」は、内積で先述のようなことを気をつけていた余りに、外積でもベクトルの向きを気をつけるようになってしまったことが原因だと推察しますが、如何でしょうか？ mNejiさんのコメントも、ほとんど内積に関することだったので。 もし、違っていたらごめんなさい。 -- Joh
意見3 mNeji? †
��の極限の部分 †
- 今までこのような微小量の極限をいい加減にしてきませんでしたか？
- その通りでです．私は，運動方程式の導出で，差分をとか全微分を考えるのがとても式です．その意味では��がとても好きです．恐らくその延長上に外微分があるらしいので，それも興味があります．
- 基に戻ると，差分を考える時は，��の1次の項までで，それ以上の項は切り捨てて式を整理します．その時点で，高階の冪が出てきても，微分方程式に組みいえれる処方を知りません．
- 今回の例もo(��x^2)とかかれた場合，(��x)の自乗以上の高階の冪の項が存在する事を明示的に示されていると思いますが，それらの項が��Sで割られたあと，極限でゼロに収束することを何も書いていないと思うのです．
- その上，��x^2=(��x)^2だと思うのですが，先にも書いたように，(��x)^2/��S=(��x)^2/(��x��y)=��x/��y not Zero となってしまうように思えるのです．
- 少なくとも，私の能力では，同一の項の微分量の自乗：(��x)^2 や(��y)^2 は余程の理由が無い限りいれません．またo()も自信が無いので書きません．判らないのに判った真似はしません．
- 逆に使い方がはっきりすれば，喜んで使うこと請け合いです．
ベクトルの外積 †
仰るように内積は自分なりの統一感はあるのと，以前のJohさんのテンソル記事を始めて読んだ時の驚きとを確認する積りで書いて見ました．
- 今後，脳の活性化を維持するために，数学・物理をもう一度考え直そうかと思っています．こんな考え方を誘発してくれた数学系，とくにテンソルの記事について，改めて敬意を表します．物理数学のシリーズも期待しています．
当時，6月ごろ，毎日，手当たりしだい記事を見ました．順序も判らず，適当です．面白そうなのは判っても，宇宙人の言葉みたいで，辛うじて数式と絵だけで楽しみました．今回は，一応,'自分のバックグランドの話なので，宇宙人→フランス人くらいの親近感になりました．どうも，共変・反変の感じも,やはりそうかという感じになってきました．
従って，外積に付いては，もう少し考えてみます．当面は，複素数で，内積・外積の話でもノートしようと思います．複素数で2次元が出来るのだから，2元数があれば，ハッピーだったのですよね．
返答3 †
意見4 まだ記入中 mNeji? †
- 老後の数学においては，不得意だったところがなぜそうなったを分析できれば，数学が嫌いな高校生に数学を教えられるかも知れませんね．余裕ができたらやってみます．
- 複素数は2元数ですか，失礼しました．まだ鍍金が剥がれ易いなぁ．すると実数，i数，j数の3つが欲しいけど無いよナのですね．ご紹介のページは以前にも拝見したものの何処にあるか探せませんでした．旧友にあったような感じです．でも，チト難しい．次を見てください．
- 複素数とベクトルとの比較については，ご存知，今井 功さんの「複素解析と流体力学」，日本評論社,p21,§7 複素数の積とベクトルの積 に別の解法をしめしています．
- <tex>(\bar A\cdot B =(A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y} +\mathrm{i}(A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x}))</tex>
査読/rot(Joh著)/2 のバックアップ(No.18)
